Комплект исследовательских задач по математике для разноуровневого обучения

Автор: Алёшкина Оксана Юрьевна

Дата публикации: 28.03.2016

Номер материала: 1586

Прочие методические материалы
Математика
Без класса

Оксана Юрьевна Алёшкина,

учитель математики МБОУ «СОШ №55 им. А. Невского» г. Курска

Комплект исследовательских задач по математике

для разноуровнего обучения

   

  В «Концепции общего среднего образования» основополагающий принцип обновления образования – личностная ориентация содержания образования, предполагающая развитие творческих способностей обучающихся. Современное информационное общество движется по пути развития творческого мышления человека, который может успешно адаптироваться в социуме, противостоять негативным обстоятельствам, находить позитивные выходы из сложных ситуаций, он способен к реализации своих возможностей, саморазвитию. Одним из направлений развития творчества является учебная исследовательская деятельность. Это специально организованная творческая деятельность учащихся, по своей структуре соответствующая научной деятельности. Она характеризуется целенаправленностью, результатом которой является формирование познавательных мотивов, исследовательских умений.     «Учебно-исследовательская деятельность учащихся – это такая форма организации учебно-воспитательной работы, которая связана с решением учащимися творческой, исследовательской задачи», это организация учебной работы, при которой учащиеся знакомятся с научными методами добывания знаний, осваивают элементы научных методов, овладевают умением самостоятельно добывать новые знания, планировать поиск и открывать новую для себя зависимость или закономерность.

   В процессе такого обучения школьники учатся мыслить логично, научно, диалектически, творчески; добытые ими знания превращаются в убеждения; они испытывают чувство глубокого удовлетворения, уверенности в своих возможностях и силах; самостоятельно добытые знания более прочные.

Поиск решения любой, более или менее сложной, математической задачи без заданного алгоритма уже есть исследовательская работа. Окружающая действительность дает широкое поле для исследования в области математики. Например, как вычислить высоту горы, видимой из окна поезда или какова вероятность того, что через два года учащихся в школе станет больше. Иногда текст учебника по математике подсказывает возможность применения исследовательского метода. Например «Исследование расположения параболы в прямоугольной системе координат» или «Исследование свойств функций» и т. д. Чтобы начинать решать такие задачи, не надо ждать старших классов Полезно начинать с самого простого, с вещей, доступных  не самым сильным ученикам.   Исследовательские задачи могут стать органической частью обучения математике.  Одарённые ученики  при хорошем руководителе и удачно поставленной задаче могут получить объективно новый результат. Но это нисколько не умаляет работу тех, кто не достиг таких успехов. Цель исследовательской работы состоит   в том,   чтобы  делать математические открытия на уровне, доступном ученику. Более-менее содержательные субъективные открытия доступны почти всем. 

Предлагаю задания исследовательского характера.  Разные уровни сложности предполагют использовать эти задачи на уроках, кружках, различных конференциях.

 

1. Замечательные числа (1-6 классы)

Назовем натуральное число «замечательным», если оно самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же суммой цифр. Например, число 1 замечательное, потому что оно самое маленькое из чисел 1, 10, 100, 1000 и так далее. 1 – это первое замечательное число. Найдите второе замечательное число. Опишите все числа, у которых сумма цифр такая же. То же для третьего, десятого, 2010-го замечательного  числа.

Найдите самое большое двузначное замечательное число. Какой у него номер?  

2. Прямоугольники с заданной площадью (3-5 классы)

На клетчатой бумаге нарисуйте все прямоугольники, у которых площадь равна 24 клеткам. (Стороны должны идти по границам клеток.) Сколько получится таких прямоугольников?

Для каких площадей бывает только один прямоугольник? Для каких – два разных прямоугольника? Три разных прямоугольника? Как зависит количество вариантов от площади?

Найдите из всех прямоугольников с одинаковой площадью тот, у которого периметр наименьший.  

3. Суперкомпьютер (6 класс…)

Суперкомпьютер умеет выполнять только одну операцию - операцию смешивания двух чисел: из чисел m, n компьютер получает число (m+n) /2. Если m+n – нечетное, то компьютер зависает. Все полученные числа хранятся в памяти. Пусть нам даны три числа, одно из которых ноль, а два другие натуральные и не равны друг другу. Для каких чисел m и n на суперкомпьютере можно получить единицу?

4. Задача о размене (6 класс…)

Какие суммы можно уплатить монетами по 3 и 5 рублей? Какие числа выражаются комбинацией ax+by, где a и b – данные натуральные числа, x и y – произвольные целые неотрицательные числа?  

5. Поиск чисел с заданным количеством делителей (7 класс…)

Единица имеет ровно один делитель. Ровно два делителя имеют все простые числа. Ровно три делителя имеют, например, числа 4 и 9, являющиеся квадратами простых чисел. Все ли числа, имеющие ровно три делителя, обладают этим свойством? Каким может быть вид числа, имеющего ровно 4 делителя? 5 делителей? Для данного натурального числа N опишите все натуральные числа, имеющие ровно N делителей.  

6. Разложения дробей  (8 класс…)

,, , …

Для числа 1/7 разложение в десятичную дробь периодично и состоит из шести цифр, а для 2/7, 3/7, …, 6/7 — из тех же шести цифр в другом порядке (проверьте!). А вот для числа 1/13 и 2/13 наборы цифр разные. Исследуйте разложения этих чисел и чисел вида 1/p, 2/p, …, (p-1)/p, для p = 17, 19, 41, 47 и другим простым числам, и разберитесь, какие бывают циклы.  

7. Периодические последовательности (9 класс…)

Найдите периоды последовательностей:

1)   an ≡ nm(mod k),

2)   bn ≡ φn (mod k), где φn – числа Фибоначчи.    

8. Классификация графиков дробно-квадратичных функций

(8 класс…)

Рассмотрим функцию , где в числителе и в знаменателе – многочлены степени не выше второй. Какие типы графиков могут получиться (исследуйте количество нулей, вертикальных и наклонных асимптот и т.д.)?

9. Симметрические многочлены (8 класс…)

Симметрические многочлены – это многочлены от двух переменных, которые от замены одной переменной на другую не изменяются.  Например: x2+y2,  x+y-xy. Многочлены u = x + y и v = xy называются элементарными симметрическими многочленами.

Верно ли, что любой симметрический многочлен можно представить в виде многочлена от элементарных u и v? Как это сделать быстро?

Поставьте и решите аналогичную задачу для симметрического многочлена от трёх переменных (сколько есть элементарных симметрических многочленов от x, y, z?).

10. Многочлен с заданным нулём (8 класс…)

Постройте многочлен с целыми коэффициентами, имеющий ноль . Постройте многочлен наименьшей степени, обладающий этим свойством.

Та же задача для суммы k квадратных корней из различных простых чисел.

11. Иррациональные корни (8 класс…)

При каких целых  корни уравнения  записываются только через квадратичные иррациональности? (Допускается несколько знаков квадратного корня – один в другом.)

12. Количество решений  (8 класс…)

  1. Исследуйте количество корней уравнения  в зависимости от параметров p и q. Нарисуйте на  плоскости параметров (p, q) области, соответствующие случаю 4, 3, 2 и т.д. корней.  
  2. Аналогичная задача для кубического многочлена x3 + px + q = 0.
  3. Исследуйте количество корней уравнения  в зависимости от параметров a, b и c. Изобразите соответствующие области в пространстве параметров . 

13. Исследование графиков линейных функций на плоскости параметров (k ; b) (7 класс…)

Рассмотрим координатную плоскость (k;b). Каждая прямая вида у=kх+b  изображается на этой плоскости в виде точки. На координатной плоскости (k;b) проведено три прямые, проходящие через одну точку. Каждая такая прямая изображает некоторое семейство прямых на плоскости (х;у). Как эти семейства прямых связаны между собой? Аналогичный вопрос для трех параллельный прямых.  

14. Диофантово уравнение А.А. Маркова (8 класс…)

Решить уравнение в целых числах: x2+y2+z2=3xyz.  

15. Оси куба (1 класс…)

Возьмём кубик, проткнём его спицей через центры противоположных граней и начнём поворачивать. За один оборот кубик будет 4 раза совпадать со своим первоначальным положением. Поэтому такую ось называют осью вращения 4-го порядка. Какие ещё оси есть у куба, и каких порядков? Что изменится, если срезать у куба один уголок? Два противоположных уголка? Два уголка с одной грани? С одного ребра? Те же вопросы, если срезать три уголка.

16. Формула Пика (5 класс…)

На клетчатой бумаге нарисован многоугольник с вершинами в узлах клеток. Как найти его площадь, подсчитывая лишь количества узлов?

 

17. Разбиение многоугольника на равновеликие треугольники

 (8 класс…)

Рассмотрим в n-угольнике точку M, обладающую следующим свойством: если соединить её отрезками с вершинами, то получатся n равновеликих треугольников. Для каких многоугольников такая точка найдётся? Сколько таких точек может быть? Какими свойствами они обладают?

  18. Восстановление многоугольника (8 класс…)

На доске нарисован многоугольник. Отметили середины его сторон, а сам многоугольник стёрли. Как восстановить многоугольник по серединам сторон? Сколько решений имеет задача?  

19.«Двуправильные» шестиугольники (8 класс…)

Будем называть шестиугольник «двуправильным», если у него стороны равны через одну и углы равны через один. Найдите и докажите свойства двуправильных шестиугольников. (Двуправильный четырёхугольник – это параллелограмм, у него много интересных свойств.)

    

20. Сложение фигур (9 класс…)

Пусть заданы две фигуры F и G. Назовём полусуммой этих фигур множество всех середин отрезков, один конец которых принадлежит F, а другой – G. Что является полусуммой двух отрезков? Какие фигуры могут быть полусуммами многоугольников?

                                    Источники

  1. А.И.  Сгибнев Исследовательские задачи для начинающих [Электронный ресурс] // Полином. 2010. N 1. С. 23-32: http://www.mathedu.ru/polinom/polinom2010-1-view.pdf
  2. А.И. Сгибнев «Как задавать вопросы?» / «Математика», 2007. № 12. С. 30-41. (http://www.mccme.ru/nir/uir/vopr.pdf) Приведён ряд способов открыто формулировать задачи.
  3. А.Б. Скопенков. «Размышления об исследовательских задачах для школьников» / Мат. Просвещение. 2008. № 12. Сс. 23-32 (http://www.mccme.ru/circles/oim/issl.pdf). Изложены мысли о научно-исследовательской работе школьников: подбор задачи, требования к работе, подготовка доклада, выбор конференции, примеры работ.