План занятия на тему:"Геометрическая вероятность"

Автор: Путинцева Светлана Николаевна

Дата публикации: 04.04.2016

Номер материала: 1831

Конспекты
Математика
11 Класс

Геометрическая вероятность

 Лк 2ч.

Геометрическая вероятность

Классическое определение вероятности непосредственно применимо лишь к опытам, которые имеют конечное число равновозможных исходов.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, связанный с его неприменимостью к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят понятие геометрической вероятности – вероятности попадания точки в некоторую область ( отрезок, часть плоскости и т.д.).

В подобных случаях пространство элементарных исходов может быть представлено областью  , а под событием  можно понимать исходы, входящие в некоторую область , принадлежащую области .

Пусть на область  наугад бросается “точка”. Какова вероятность того, что эта точка попадет в область , являющуюся частью области ?

  1. Пусть отрезок  длины , составляет часть отрезка  длина которого . На отрезок  наудачу поставлена точка. Предполагается, что
  • поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка ;
  • вероятность попадания точки на отрезок  пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка .

Тогда вероятность попадания точки на отрезок  определяется равенством                          .

  1. Пусть плоская фигура  с площадью  составляет часть плоской фигуры , площадь которой . На фигуру  наудачу брошена точка. Предполагается, что:
  • брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры ;
  • вероятность попадания брошенной точки на фигуру  пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно фигуры , ни от формы .

В этих предположениях вероятность попадания точки на фигуру  определяется равенством  .

  1. Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область  объема , содержащую область  объема

                        :

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области  (длину, площадь, объем и т.д.)  через , а меру области  – через . Тогда вероятность попадания в область  точки, брошенной в область , определяется формулой:

                .

Пример: в течение суток к причалу могут подойти 2 парохода. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ждать, если время разгрузки одного ид них равно 1 часу, а другого – 2 часам.

!!!

!!!

!!!

!!!

Решить задачи:

  1. В квадрат со стороной 15м случайным образом вбрасывается точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется в правой верхней четверти квадрата или не далее, чем на 2м  от центра квадрата.

  1. На отрезок  длины 240 наудачу поставлена точка . Найдите вероятность  того, что меньший из отрезков  и  имеет длину большую, чем 48.

  1. На отрезок  длины 120 наудачу поставлена точка . Найдите вероятность  того, что меньший из отрезков  и  имеет длину меньшую, чем 30.

  1. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 20 и 100 соответственно. Найдите вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями.

  1. Внутрь круга радиуса 50 наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата? правильного треугольника? правильного шестиугольника?

  1. Двое договорились о встрече между 6 и 7 часами утра, причем договорились ждать друг друга не более 5 минут. Считая, что момент прихода на встречу выбирается каждым наудачу в пределах указанного часа, найти вероятность  того, что встреча состоится.

  1. В шар радиуса 150 наудачу бросаются 2 точки. Найдите вероятность того, что расстояние от центра шара до ближайшей точки будет не меньше 120.

  1. В круг радиуса 150 наудачу бросаются 4 точки. Найдите вероятность того, что расстояние от центра круга до ближайшей точки будет не меньше 75.

  1. В шар радиуса 100 наудачу бросаются 4 точки. Найдите вероятность того, что расстояние от центра шара до самой удаленной точки будет не больше 50.

Задачи на самостоятельное решение:

1. В квадрат со стороной 15м случайным образом вбрасывается точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется в правой верхней четверти квадрата или не далее, чем на 2м  от центра квадрата.

2. На отрезок АВ длины 240 наудачу поставлена точка Х. Найдите вероятность того, что меньший из отрезков АХ и ВХ имеет длину большую, чем 48.

3. На отрезок АВ длины 120 наудачу поставлена точка Х. Найдите вероятность того, что меньший из отрезков АХ и ВХ имеет длину меньшую, чем 30.

4. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 20 и 100 соответственно. Найдите вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями.

5. Внутрь круга радиуса 50 наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется внутри

- вписанного в круг квадрата;

- правильного треугольника;

- правильного шестиугольника.

6. Отрезок случайным образом делится на три части. Какова вероятность, что эти части могут быть сторонами одного треугольника?