Введение в теорию вероятности

Автор: Путинцева Светлана Николаевна

Дата публикации: 04.04.2016

Номер материала: 1832

Конспекты
Математика
11 Класс

Лк 2ч.

Цель: Провести вводный экскурс в теорию вероятности: исторический экскурс (вечные истины и случайные ошибки, путь становления науки), случайные явления, методы и роль теории вероятностей в изучении случайных явлений,

1. Вечные истины и случайные ошибки

Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую мы решаем на уроках математики, у всех получается один и тот же ответ – нужно только не делать ошибок в решении.

Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной. Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными.

Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики – Теории вероятностей.

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Выдающийся французский математик, физик и астроном; известный работами в области небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей Пьер Симон Лаплас писал «Теория вероятностей есть в сущности не что иное, как здравый смысл, сведенный к исчислению».

Сл.2

Сл.3

!!!

2. Путь становления науки

В настоящее время «Теория вероятностей» имеет статус точной науки наравне с арифметикой, алгеброй, геометрией, тригонометрией и т.д.

Однако, первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим (основанным на опыте) фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях.

Богатый материал для наблюдения за случайностью на протяжении многих веков давали азартные игры. В археологических раскопках специально обработанные для игры кости животных встречаются, начиная с V века до н.э. Самый древний игральный кубик найден в Северном Ираке и относится к IV тысячелетию до н.э.

Люди, многократно следившие за бросанием игральных костей, замечали некоторые закономерности, управляющие этой игрой. Результаты этих наблюдений формулировались как «Золотые правила» и были известны многим игрокам. Однако первые вычисления появились только в X-XI веках.

Одна из самых знаменитых задач, способствовавших развитию теории вероятностей, была задача о разделе ставки, помещенная в книге Луки Паччиоли (1445- ок.1514). Книга называлась «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношении и пропорции» и была опубликована в Венеции в 1494 году.

Задача Паччиоли «Двое играют в некоторую игру, где шансы на победу у каждого игрока одинаковы. Игроки договорились играть до 6 побед, но игра остановилась, когда у одного было 5 побед, а у другого – 3. Как следует разделить приз?» (Сам Паччиоли считал, что приз надо делить пропорционально количеству выигранных партий. Однако правильный ответ не так прост.)

Следующим человеком, который внес значительный вклад в осмысление законов, управляющих случаем, был Галилео Галилей (1564 -1642). Именно он заметил, что результаты измерений носят случайный характер. Результаты физических экспериментов нуждаются в поправках, основанных на теории вероятностей.

Важный этап в развитии теории вероятностей связан с именами французских математиков Блеза Паскаля (1623 -1662) и Пьера Ферма (1601- 1665). В ответах этих ученых на запросы азартных игроков (прогнозирование выигрыша в азартных играх) и переписке между собой были введены основные понятия этой теории – вероятность события и математическое ожидание.

Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и выдающийся голландский математик, механик, астроном и изобретатель Христиан Гюйгенс (1629 - 1695). При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа «О расчетах в азартных играх», в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно)), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год). Трактат Гюйгенса выдержал несколько изданий и был единственной книгой по теории вероятностей в XVII веке.

Но как математическая наука теории вероятностей начинается с работы выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли (1654 -1705) «Искусство предположений». Он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний.

Развитие естествознания и техники, точных измерений, военного дела и связанной с ней теории стрельбы, учение о молекулах в кинетической теории газов ставило перед учеными конца XVIII века все новые и новые задачи теории вероятностей.

Крупнейшими представителями теории вероятностей как науки были математики П.Лаплас (1749-1827), К. Гаусс (1777-1855), С. Пуассон (1781-1840).

Пьер-Симон Лаплас (фр.) расширил и систематизировал математический фундамент теории вероятностей, ввёл производящие функции. Первая книга «Аналитической теории вероятностей» посвящена математическим основам; собственно теория вероятностей начинается во второй книге, в применении к дискретным случайным величинам. Там же — доказательство предельных теорем Муавра—Лапласа и приложения к математической обработке наблюдений, статистике народонаселения и «нравственным наукам».

Иоганн Карл Фридрих Гаусс — немецкий математик, механик, физик и астроном. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Его заслуги в познании точных наук не перечислишь в рамках одной лекции.

Симеон Дени Пуассон. Число учёных трудов Пуассона превосходит 300. Они относятся к разным областям чистой математики, математической физики, теоретической и небесной механики.

Особенно быстро теория вероятностей развивалась во второй половине XIX и XX вв. Здесь фундаментальные открытия были сделаны математиками Петербургской школы П.Л.Чебышёвым (1821-1894), А.М.Ляпуновым (1857-1918), А.А.Марковым (1856-1922).

Пафнутий Львович Чебышев. Работы в теории чисел, теории вероятностей, механике.

Александр Михайлович Ляпунов – русский математик и механик. Работы А.М. Ляпунова по теории устойчивости движения (физико-математическая наука) служат сегодня глубоким научным фундаментом теории разнообразных автоматических устройств и, в частности, систем управления полётом самолётов и ракет.

Андрей Андреевич Марков существенно продвинул классические исследования предшественников, касающиеся закона больших чисел и центральной предельной теоремы теории вероятностей.

Строгое логическое обоснование теории вероятностей произошло в XX в. и связано, в первую очередь, с именами математиков С.Н.Бернштейна, А.Н.Колмогорова, А.Я.Хинчина, Б.В.Гнеденко, Ю.В.Линника.

Сергей Натанович Бернштейн (1880 - 1968) в 1917 году разработал самую первую по времени аксиоматику (основу) теории вероятностей.

Андрей Николаевич Колмогоров (1903 - 1987) положил начало общей теории случайных процессов. В 1933 году разработал аксиоматику, которая в настоящее время является общепринятой.

Научное наследие Александра Яковлевича Хинчина (1894 - 1959) включает, в частности, 4 монографии по теории вероятностей.

Борисом Владимировичем Гнеденко (1912 - 1995) написан учебник «Курс теории вероятностей» (первое издание вышло в 1949 году) и монография «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин».

В теории вероятностей и математической статистике Юрию Владимировичу Линнику (1915 - 1972) принадлежат предельные теоремы для независимых случайных величин и неоднородных цепей Маркова, теория проверки сложных гипотез и теории оценивания и т.д.

В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные (четкие, определенные) закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.

!!!

Сл.4

Сл.7

Сл.5

Сл.6

3. Случайные явления

Рассмотрим на примерах случайные явления и роль теории вероятности и математической статистики в изучении случайных явлений.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Приведем примеры случайных явлений.

1. Производится стрельба из орудия, установленного под заданным углом к горизонту (рис. 1.).

Фактическая траектория каждого отдельного снаряда неизбежно несколько отклоняется от теоретической за счет совокупного влияния многих факторов.

Какие?

Например, ошибки изготовления снаряда, отклонение веса заряда от номинала, неоднородность структуры заряда, ошибки установки ствола в заданное положение, метеорологические условия и т.д.

Если произвести несколько выстрелов при неизменных основных условиях (,,), мы получим не одну теоретическую траекторию, а целый пучок или «сноп» траекторий, образующих так называемое «рассеивание снарядов».

Рис. 1. Траектория снаряда

2. Одно и то же тело несколько раз взвешивается на аналитических весах; результаты повторных взвешиваний несколько отличаются друг от друга. Эти различия обусловлены влиянием многих второстепенных факторов, сопровождающих операцию взвешивания, таких, как положение тела на чашке весов, случайные вибрации аппаратуры, ошибки отсчета показаний приборов и т.д.

3. Самолет совершает полет на заданной высоте; теоретически он летит горизонтально, равномерно и прямолинейно. Фактически полет сопровождается отклонениями центра массы самолета от теоретической траектории и колебаниям самолета около центра массы. Эти отклонения и колебания являются случайными и связаны с турбулентностью атмосферы; от раза к разу они не повторяются.

4. Производится ряд подрывов осколочного снаряда в определенном положении относительно цели. Результаты отдельных подрывов несколько отличаются друг от друга: меняются общее число осколков, взаимное расположение их траекторий, вес, форма и скорость каждого отдельного осколка. Эти изменения являются случайными и связаны с влиянием таких факторов, как неоднородность металла корпуса снаряда, неоднородность взрывчатого вещества, непостоянство скорости детонации и т.п. В связи с этим различные подрывы, осуществленные, казалось бы, в одинаковых условиях, могут приводить к различным результатам: в одних подрывах цель будет поражена осколками, в других – нет.

Все приведенные примеры рассмотрены здесь под одним и тем же углом зрения: подчеркнуты случайные вариации, неодинаковые результаты ряда опытов, основные условия которых остаются неизменными. Эти вариации всегда связаны с наличием каких-то второстепенных факторов, влияющих на исход опыта, но не заданных в числе его основных условий. Основные условия опыта, определяющие в общих и грубых чертах его протекание, сохраняются неизменными; второстепенные – меняются от опыта к опыту и вносят случайные различия в их результаты.

Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали.

Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, «модель», и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. При этом из бесчисленного множества факторов, влияющих на данное явление, выделяются самые главные, влиянием остальных, второстепенных факторов просто пренебрегают. Такая схема изучения явлений постоянно применяется в физике, механике, технике. При пользовании этой схемой для решения любой задачи прежде всего выделяется основной круг учитываемых условий и выясняется, на какие параметры задачи они влияют; затем применяется тот или иной математический аппарат (например, составляются и интегрируются дифференциальные уравнения, описывающие явление); таким образом выявляется основная закономерность, свойственная данному явлению и дающая возможность предсказать результат опыта по его заданным условиям. По мере развития науки число учитываемых факторов становится все больше; явление исследуется подробнее; научный прогноз становится точнее.

Однако для решения ряда вопросов описанная классическая схема оказывается плохо приспособленной. Существуют такие задачи, в которых многочисленные второстепенные, тесно переплетающиеся между собой случайные факторы играют заметную роль, а вместе с тем число их так велико и влияние столь сложно, что применение классических методов исследования себя не оправдывает.

Вернемся к примеру со снарядом.

Траектории снарядов, как было указано выше, не совпадают между собой; в результате точки падения снарядов на земле рассеиваются. Если размеры цели велики по сравнению с областью рассеивания, то этим рассеиванием, очевидно, можно пренебречь: при правильной установке орудия любой выпущенный снаряд попадает в цель. Если же (как обычно и бывает на практике) область рассеивания снарядов превышает размеры цели, то некоторые из снарядов в связи с влиянием случайных факторов в цель не попадут. Возникает ряд вопросов, например: какой процент выпущенных снарядов в среднем попадает в цель? Сколько нужно потратить снарядов для того, чтобы достаточно надежно поразить цель? Какие следует принять меры для уменьшения расхода снарядов?

Чтобы ответить на подобные вопросы, обычная схема точных наук оказывается недостаточной, так как указанные вопросы органически связаны со случайной природой явления. Для того, чтобы на них ответить, очевидно, нельзя просто пренебречь случайностью, - надо изучить случайное явление рассеивания снарядов с точки зрения закономерностей, присущих ему именно как случайному явлению. Надо исследовать закон, по которому распределяются точки падения снарядов; нужно выяснить случайные причины, вызывающие рассеивание, сравнить их между собой по степени важности и т.д.

Рассмотрим другой пример. Система автоматического управления, решает определенную задачу в условиях, когда на систему непрерывно воздействуют случайные помехи. Наличие помех приводит к тому, что система решает задачу с некоторой ошибкой, в ряде случаев выходящей за пределы допустимой. Возникают вопросы: как часто будут появляться такие ошибки? Какие следует принять меры для того, чтобы практически исключить их возможность? Чтобы ответить на такие вопросы, необходимо исследовать природу и структуру случайных возмущений, воздействующих на систему, изучить реакцию системы на такие возмущения, выяснить влияние конструктивных параметров системы на вид этой реакции.

Такого рода задачи, число которых в различных науках чрезвычайно велико, требуют изучения не только основных, главных закономерностей, определяющих явление в общих чертах, но и анализа случайных возмущений и искажений, связанных с наличием второстепенных факторов и придающих исходу опыта при заданных условиях элемент неопределенности.

!!!

Сл. 7

???

!!!

!!!

4. Методы  и роль теории вероятностей в изучении случайных явлений

С чисто теоретической точки зрения те факторы, которые мы условно назвали «случайными», в принципе ничем не отличаются от других, которые мы выделили в качестве «основных». Теоретически можно неограниченно повышать точность решения каждой задачи, учитывая все новые и новые группы факторов: от самых существенных до самых ничтожных. Однако практически такая попытка одинаково подробно и тщательно проанализировать влияние решительно всех факторов, от которых зависит явление, привела бы только к тому, что решение задачи, в силу непомерной громоздкости и сложности, оказалось бы практически неосуществимым и к тому же не имело бы никакой познавательной ценности.

Например, теоретически можно было бы поставить и решить задачу об определении траектории вполне определенного снаряда, с учетом всех конкретных погрешностей его изготовления, точного веса и конкретной структуры данного, вполне определенного порохового заряда при точно определенных метеорологических данных (температура, давление, влажность, ветер) в каждой точке траектории. Такое решение не только было бы необозримо сложным, но и не имело бы никакой практической ценности, так как относилось бы только к данному конкретному снаряду и заряду в данных конкретных условиях, которые практически больше не повторятся.

Очевидно, должна существовать принципиальная разница в методах учета основных факторов, определяющих в главных чертах течение явления, и второстепенных факторов, влияющих на течение явления в качестве «погрешностей» или «возмущений». Элемент неопределенности, сложности, многопричинности, присущий случайным явлениям, требует создания специальных методов для изучения этих явлений.

Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. Её предметом являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях.

Практика показывает, что, наблюдая в совокупности массы однородных случайных явлений, мы обычно обнаруживаем в них вполне определенные закономерности, своего рода устойчивости, свойственные именно массовым случайным явлениям.

Например, если много раз подряд бросить монету, частота появления герба (отношение числа появившихся гербов к общему числу бросаний) постепенно стабилизируется, приближаясь к вполне определенному числу, именно, к ½. Такое же свойство «устойчивости частот» обнаруживается и при многократном повторении любого другого опыта, исход которого представляется заранее неопределенным, случайным. Так, при увеличении числа выстрелов частота попадания в некоторую цель тоже стабилизируется, приближаясь к некоторому постоянному числу.

Подобные специфические, так называемые «статистические», закономерности наблюдаются всегда, когда мы имеем дело с массой однородных случайных явлений. Закономерности, проявляющиеся в этой массе, оказываются практически независимыми от индивидуальных особенностей отдельных случайных явлений, входящих в массу. Эти отдельные особенности в массе как бы взаимно погашаются, нивелируются, и средний результат массы случайных явлений оказывается практически уже не случайным. Именно эта многократно подтвержденная опытом устойчивость массовых случайных явлений и служит базой для применения вероятностных (статистических) методов исследования. Методы теории вероятностей по природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из которых остается неопределенным, случайным.

Чем большее количество однородных случайных явлений участвует в задаче, тем определеннее и отчетливее проявляются присущие им специфические законы, тем с большей уверенностью и точностью можно осуществить научный прогноз.

Во всех случаях, когда применяются вероятностные методы исследования, цель их в том, чтобы, минуя слишком сложное (и зачастую практически невозможное) изучение отдельного явления, обусловленного слишком большим количеством факторов, обратиться непосредственно к законам, управляющим массами случайных явлений. Изучение этих законов позволяет не только осуществлять научный прогноз в своеобразной области случайных явлений, но в ряде случаев помогает целенаправленно влиять на ход случайных явлений, контролировать их, ограничивать сферу действия случайности, сужать её влияние на практику.

Вероятностный, или статистический, метод в науке не противопоставляет себя классическому, обычному методу точных наук, а является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случайности.

Характерным для современного этапа развития естественных и технических наук является весьма широкое и плодотворное применение статистических методов во всех областях знания. Это вполне естественно, так как при углубленном изучении любого круга явлений неизбежно наступает этап, когда требуется не только выявление основных закономерностей, но и анализ возможных отклонений от них. В настоящее время нет почти ни одной естественной науки, в которой, так или иначе, не применялись бы вероятностные методы. Целые разделы современной физики (в частности, ядерная физика) базируются на методах теории вероятностей. Все шире применяются вероятностные методы в современной электротехнике, радиотехнике, метеорологии и астрономии, теории автоматического регулирования и машинной математике, в разнообразных областях военной техники: теория стрельбы и бомбометания, теория боеприпасов, теория прицелов и приборов управления огнем, аэронавигация, тактика.

Математические законы теории вероятностей – отражение реальных статистических законов, объективно существующих в массовых случайных явлениях природы. К изучению этих явлений теория вероятностей применяет математический метод и по своему методу является одним из разделов математики, столь же логически точным и строгим, как другие математические науки.

!!!

!!

!!!

!!!

6. Основные понятия теории вероятностей

  • вероятность,
  • вероятностное пространство,
  • случайная величина,
  • локальная теорема Муавра-Лапласа,
  • функция распределения,
  • математическое ожидание,
  • дисперсия случайной величины,
  • независимость,
  • условная вероятность,
  • закон больших чисел,
  • центральная предельная теорема.

Сл.8