Подготовка к ГИА:"Решение текстовых задач. "

Автор: Назарычева Марина Александровна

Дата публикации: 15.04.2016

Номер материала: 1998

Конспекты
Математика
9 Класс

Камско – Устьинский муниципальный район Республики Татарстан

Решение текстовых задач

Подготовка к ГИА

Выступление

учителя математики

Теньковской средней

общеобразовательной школы

Назарычевой М. А.

2016

Текстовые задачи условно можно разбить на следующие основные группы:

  • Задачи на движение: задачи на движение  по прямой (навстречу и вдогонку); задачи на движение по замкнутой трассе; задачи на движение по воде; задачи на определение средней скорости движения; задачи на движение протяженных тел;
  • Задачи на производительность;
  • Задачи на выполнение определенного объема работы;
  • Задачи на работу, на бассейны и трубы;
  • Задачи на проценты и доли, на концентрацию, смеси и сплавы;
  • Задачи на прогрессии.

Задачи на движение

Практические советы:

  • 1. Записываем формулу-ключ: S = Vt.
  • 2. Определяемся с иксом, расписываем через икс все данные. Особое внимание на величины, входящие в формулу-ключ: путь, скорость, время. Эти величины – основа решения задач на движение. Стараемся снять всю возможную информацию с задачи.
  • 3. До составления уравнения, приводим (если надо) все величины задачи к единым единицам измерения.
  • 4. Записываем уравнение. Если никак не записывается, читаем задачу. Скорее всего,  вы использовали не все данные из задачи или не увидели в тексте подсказки. Она, подсказка, всегда есть.
  • 5. Решаем уравнение. При получении двух корней – за ответ берём приличный корень, несусветный и левый – отбрасываем.

Задачи на движение  по прямой (навстречу и вдогонку)

  • В задачах на движение есть две стандартные модели: движение навстречу друг другу и движение вдогонку.
  • В первой модели рассматривается как бы совместная скорость сближения, как сумма двух скоростей и поэтому время сближения считается так: t = S/v1+v2 .
  • Задача.  Из городов А и В, расстояние между которыми 480 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля. Из города А со скоростью 55 км/ч, а из города В со скоростью 65 км/ч. Найдите расстояние от города А где они встретятся.

       Решение: Время до встречи считается по формуле t = S/v1+v2 и равно 4 часа. Расстояние от города А до места встречи равно         S =220 км.

  • Во второй модели время, за которое объект, идущий сзади с большей скоростью v1, догонит другой объект, идущий с меньшей скоростью v2, считается так: t = S/v1−v2, где S - расстояние между объектами в начальный момент времени.
  • Задача.  Два пешехода отправляются из аптеки в одном направлении на прогулку по набережной. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Найдите время в минутах, когда расстояние между ними станет 200 м.

       Решение: Время в часах, за которое расстояние станет между ними 200 м, т.е. 0,2 км, считается по формуле t=0,2/0,5=0,4 часа. Значит, через 24 минуты расстояние между ними будет 200 м.

Задачи на движение по замкнутой трассе

Движение по замкнутой трассе (допустим по стадиону) похоже на движение вдогонку:  если два бегуна начинают двигаться по окружности одновременно с разными скоростями соответственно v1 и v2 (v1  больше v2), то первый бегун приближается ко второму бегуну со скоростью v1−v2 и в момент, когда первый бегун догоняет второго бегуна, то первый бегун как раз проходит на один круг больше второго. И поэтому время считается так: t = S/v1−v2.

  • Задача. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 16 км, в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч и через 40 минут после старта, он опережает второй автомобиль ровно на один круг. Найдите скорость второго автомобиля.

    Решение: Пусть скорость второго автомобиля  x км/ч,   тогда 16/80−x= 40/60;    x=56 (км/ч)-v2.

Задачи на определение средней скорости движения

  • Средняя скорость. Если S - путь пройденный телом, а t - время за которое этот путь пройден, то средняя скорость вычисляется по формуле:   v = S/t.
  • Если путь состоит из нескольких участков, то для нахождения средней скорости на всем пути, надо весь пройденный путь разделить на сумму времени, затраченного на каждый участок пути.
  • Задача. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть - со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть - со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути.
  • Решение: Пусть весь путь равен 3S, тогда первую треть трассы велосипедист проехал за время t1=s/12, вторую треть - за время t2=s/16, последнюю треть - за время t3=s/24. Значит время потраченное на весь путь находится так t=t1+t2+t3=s/12+s/16+s/24=9s/48,и поэтому средняя скорость вычисляется так v=3s:9s/48=16 (км/ч).

Задачи на движение протяженных тел

  • В задачах на движение протяжных тел требуется определить длину одного из них. Наиболее типичные ситуации: определение длины поезда проезжающего мимо

   - придорожного столба

   - идущего параллельно путям пешехода

   - лесополосы определенной длины

   -другого двигающегося поезда

Если поезд движется мимо столба, то он проходит расстояние равное его длине.

  • Задача.  Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах.
  • Решение: Зная скорость движения v = 60 км/ч  и время, равное 30 секунд = 1/120ч, за которое он проезжает мимо столба,  можно найти длину поезда как пройденное расстояние

               s = 60 х 1/120= 0,5 (км) = 500(м).

Если поезд движется мимо протяженной лесополосы, то он проходит расстояние равное сумме длины самого поезда и лесополосы.

  • Задача.  Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которого 800 метрам, за 1 минуту. Найти длину поезда в метрах.

    Решение: Зная скорость движения v = 90 км/ч  и время, за которое он проезжает мимо лесополосы длиной  0,8 км  за t = 1/60 ч, можно найти длину поезда как пройденное расстояние

      s = 90 х 1/60 = 1,5  (км) плюс длина лесополосы 0,8 км и получим длину поезда равную 2,3км или 2300м.

Задачи на смеси, сплавы, растворы

1.  Смешали  30  %   раствор  соляной кислоты  с  10 %    и получили   600 г     15 % раствора.  Сколько граммов   первого раствора было взято?

 

Масса раствора

Процентное содержание  соляной кислоты

1 раствор

х г

30%

2 раствор

(600-х) г

10%

Новый раствор

600 г

15%

0,3х + 0,1(600 – х) = 0,15 х 600,

0,3х + 60 – 0,1х = 90,

0,2х = 30,

х = 150 (г) –первого раствора было взято.

Ответ:  150.

2.   Бронза является сплавом меди и олова (в разных пропорциях). Кусок бронзы весом  96 кг, содержащий    1/12   часть олова, сплавили с другим куском, содержащим   1/10  часть олова.  Сколько килограмм  весит  второй кусок, если полученный сплав  содержит   1/11   часть олова?

 

Масса

куска

Содержание олова в куске

1  кусок бронзы

96 кг

1/12

2 кусок бронзы

х кг

1/10

Полученный сплав

(96  + х) кг

1/11

96*1/12 + х*1/10 = (96 + х)1/11,

8 + 0,1х = 1/11х + 96/11,

1/10х – 1/11х = 96/11 – 88/11,

11/110х -  10/110х = 8/11,

1/110х = 8/11,

х = 8/11: 1/110,

х = 80(кг)-весит второй кусок.

Ответ: 80.

3.   Имеется  два сплава   с разным содержанием  меди:  в первом  содержится  1/3, а во втором – ¼ меди.  Сплавили  3 кг первого и 2 кг  второго сплава.  Какую часть меди содержит новый сплав?

 

Содержание меди в сплаве

Взяли каждого сплава

Масса меди в сплаве

1 сплав

1/3

3 кг

1 кг

2  сплав

1/4

2 кг

0,5 кг

Новый сплав

?

5 кг

1,5 кг

1,5  :  5  =  0, 3.

Ответ:   0,3.

4.  У хозяйки есть  5 л сахарного сиропа  50% концентрации. Сколько  литров воды необходимо добавить для получения сиропа  20% концентрации?

Объем

сахарного сиропа

Концентрация сахарного сиропа

Содержание сахара в сиропе

5 л

50%

2, 5 л

(5 + х) л

20%

2, 5 л

(5  + х) 0,2 = 2,5,

1 + 0,2х = 2,5,

0,2х = 1,5,

х = 1,5 : 0,2,

х = 7,5(л)  - воды необходимо добавить для  получения сиропа 20% концентрации.

Ответ:   7,5.

Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять  первого  сплава, чтобы получить 200 г сплава, содержащего 30% меди?                                                                                                                                      

Масса

первого сплава

Массовая доля   чистого вещества  в первом сплаве

Масса

второго сплава

Массовая доля

 чистого вещества

Массовая доля  вещества в новом сплаве

m

p

m

p

p

х г

15%

(200 – х)г

65%

30%

1 способ:

2 способ:

0,15х + 0,65(200 – х) = 0,3*200,

0,15х + 130 – 0,65х = 60,

  • 0,5х = - 70,

х = 140(г) – первого сплава нужно взять.

Ответ:  140.

  1. Имелось два сплава серебра. Процент содержания серебра в первом сплаве был на 25% выше, чем во втором. Когда сплавили их вместе, то получили сплав, содержащий 30% серебра. Определить массы сплавов, если известно, что серебра в первом сплаве было 4кг, а во втором  8 кг.                                                                                                                                                          Ответ: 8 кг; 32 кг
  2. В первом сосуде растворили 0,36 л, а во втором 0,42 л чистого спирта. Процентное
    содержание спирта в первом сосуде оказалось на 6% больше, чем во втором. Каково процентное содержание спирта во втором и первом сосудах, если известно, что растворы в первом сосуде на 4 л меньше?                                                                                                                                                        
    Ответ:   12% и 6%
  3.  В 4 кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько килограммов олова добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве стало бы равным 70%?       Ответ:  4кг
  4.  К 40% раствору серной кислоты добавили 50 г чистой серной кислоты, после чего концентрация раствора стала равной 60%. Найти первоначальную массу раствора.
    Ответ: 100 г
  5. К раствору, содержащему 30 г соли, добавили 400 г, после чего концентрация соли
    уменьшилась на 10%. Найти первоначальную концентрацию соли в растворе.
    Ответ: 15%
  6. В 5 кг сплава олова и цинка содержится 80% цинка. Сколько килограммов олова надо добавить к сплаву, чтобы процентное содержание цинка стало вдвое меньше?                         Ответ: 5 кг