Разбор нескольких задач олимпиадного типа

Автор: Соколов Юрий Николаевич

Дата публикации: 19.11.2016

Номер материала: 3428

Прочие методические материалы
Математика
Без класса

Введение в олимпиадную математику

Задача о раскраске прямой.

Пусть прямая раскрашена в 2 цвета. Доказать, что найдутся 3 различные точки

A,B,С на этой прямой, окрашенные в один цвет и такие, что AB=BC.

Решение:

Задача нестандартная, и как многие из таковых, имеет несложное решение. Применяемый

метод – доказательство от противного. Суть этого метода будет понятна ниже.

Допустим, что таких точек нет.

Возьмем на прямой 2 точки, окрашенные в 1-й цвет (1 и 1).Такие обязательно найдутся, так как если вся прямая окрашена только в один цвет, то ясно, что найти 3 точки, удовлетворяющие требованию задачи, проще простого. Так же, если есть только одна точка, окрашенная в цвет 1, то

легко найти 3 точки цвета 2, удовлетворяющие требованию задачи. Итак, есть две точки 1 и 1.

Точка правее правой 1-ки и отстоящая от нее на то же расстояние, что и левая 1-ка, не м.б. окрашена в 1-й цвет, т.е. ее цвет=2. Аналогично точка левее левой 1-ки и отстоящая от нее на то же расстояние, должна быть окрашена во 2-й цвет. Тогда каким бы из 2-х цветов ни была окрашена середина отрезка 1-1, неминуемо получим тройку точек, удовлетворяющую требованию

задачи. Мы получили противоречие.Значит наше допущение неверно и такие точки есть.

Еще задача о раскраске

Пусть плоскость раскрашена в 3 цвета. Доказать, что найдутся 2 точки на этой плоскости,

такие, что расстояние между ними = 1м.

Решение:

От противного. Пусть не так, т.е. нет 2-х точек, окрашенных в один цвет  и отстоящих друг от друга на 1 м.

Возьмем точку О на этой плоскости, пусть она окрашена в цвет 1. Рассмотрим точки плоскости, отстоящие от точки О на расстояние м. Из них найдется точка, окрашенная не в цвет 1 (т.к. если бы все они были бы окрашены в цвет 1, то нашлась бы пара точек среди них, отстоящих друг от друга на 1 м.).

Пусть это точка М и ее цвет =2.

Теперь проведем из точек О и М дуги радиуса 1м и рассмотрим точки их пересечения  А и В.

Обе эти точки находятся на расстоянии 1м от точек О и М одновременно, поэтому не могут иметь цвет 1 (точки О) и цвет 2 (точки М), значит их цвет =3.

Найдем длину АВ.

Ясно, что АК┴ОК и ОК= 

ОК= , ОА=1м, значит по т.Пифагора

 АК= =м, аналогично КВ=м, получаем АВ=1м. Т.е., мы нашли 2 точки плоскости, находящиеся на расстоянии 1 друг от друга и окрашенные одинаково – противоречие, значит наше предположение неверно.

ППППППППППППППП=================================================

Еще задача.

Построить магический квадрат 3х3 с числами 1,2,3,4,5,6,7,8,9. (напомним, что магическим

называется квадрат, содержащий в своих клетках числа и такой, что сумма чисел в каждой строке,каждом столбце и каждой (из двух) диагонали одинакова).

Решение.

Как подступиться к нахождению расположения чисел в ячейках квадрата?

Нам известно, что сумма чисел в каждой строке одинакова. Чему же она равна?

Заметим, что общая сумма 1+2+3+4+5+6+7+8+9 равна 45. Значит, в каждой строке сумма должна равняться 15. Ту же сумму должен давать каждый столбец и каждая диагональ.

Далее, каждая ячейка состоит в своей строке, своем столбце и может быть, на своей диагонали. Значит, для числа в ячейке 1,1 (левый верхний угол квадрата) должно иметься минимум 3 варианта дополняющих это число до суммы 15 пар других чисел (строка 1, столбец 1 и одна диагональ). Это обстоятельство наводит на мысль – полезно посчитать для каждого из данных чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9 количество дополняющих (до суммы 15) пар. Проведя соответствующий анализ, находим, что для числа 1 дополняющими парами будут 5,9 и 6,8 – всего 2 пары,для числа 2 дополняющие пары: 4,9 ; 5,8  и 6,7 – всего 3 пары, для числа 3: 4,8 и 5,7 – 2 пары,  для числа 4: 2,9 ; 3,8 и 5,6 – 3 пары, для числа 5: 1,9; 2,8; 3,7 и 4,6 – 4 пары , для числа 6: 1,8; 2,7 и  4,5 – 3 пары, для числа 7: 2,6 и 3,5 – 2 пары, для числа 8: 1,6; 2,5 и 3,4 – 3 пары, для числа 9: 1,5 и 2,4 – 2 пары. Видим, что наибольшее количество дополняющих пар (4)  имеется у числа 5. Именно такое количество дополняющих пар должно быть у числа, стоящего в искомом магическом квадрате в самом центре. Значит, в центре должно стоять число 5.

Далее, для чисел в углах квадрата требуется 3 дополняющих пары, поэтому там должны стоять числа 2, 4,6 и 8. Ставим число 2 в левый верхний угол, тогда в правом нижнем углу должно стоять 8. Ставим число 4 в левый нижний угол и число 6 в правый верхний угол, имеем картину – см.рисунок.

Далее легко - смотри итоговый рисунок.

Мы получили вариант магического квадрата 3х3.           Можно доказать, что все другие варианты магического квадрата 3х3 из чисел 1-9 получаются поворотом или зеркальным отражением найденного нами магического квадрата.

ПППППППППППППП==================================================

Еще задача:

Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?

Решение.

Заметим, что достоинства всех купюр – числа нечетные, а нужно четным их количеством набрать сумму 25 рублей – тоже нечетное число. Возникает сомнение, что это возможно.

Сформулируем гипотезу: сумма нечетного количество нечетных натуральных чисел – нечетна, а сумма четного количества нечетных чисел – четна. Докажем это.

Если из нечетного числа отнять единицу, получится четное число. Любое четное число представляется в виде 2n, значит любое нечетное число можно представить в виде 2n+1.

Возьмем нечетное количество нечетных чисел и запишем все их в форме

2n1+1, 2n2+1, …, 2nk+1. Их сумма есть S=2(n1+n2+…+nk)+k, где k – количество этих чисел.

Если k – нечетно,то и S-нечетно, если k-четно, то и S – четно.

Таким образом, мы доказали, что сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна, а сумма четного количества нечетных чисел четна. Отсюда ответ для нашей задачи – при помощи десяти купюр (четного количества) нечетного достоинства разменять(составить) 25 рублей невозможно.

Рассмотрим другую задачу:

В выражении 1*2*3*4*5*6*7*8*9 вместо * поставлены «+» или «-».  Может ли  значение

полученного выражения равняться 20?

Решение.

Пусть все * - это знаки «+», тогда наше выражение есть 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 – число

нечетное. Если сменить любой «+» на «-», например, для числа 3, значение изменится на величину 3-(-3)=6 – на четное число, значит, останется нечетным. Этот факт, что при замене +n на - n сумма меняется на четную величину, верен для любого натурального n.

Отсюда ясно, что значение выражения 1*2*3*4*5*6*7*8*9, где вместо * стоит

 «+» или «-», всегда есть число нечетное.

Ответ: не может.

Эти две задачи наводят на мысль:

выяснить, какова четность выражения a1*a2*a3*…*ak, где ai – натуральные числа, а «*» -

знаки «+» или «-»?

Во-первых, из анализа предыдущей задачи можно считать, что все * есть знаки «+» .

Во-вторых, ясно, что все четные из ai не меняют четность всего выражения, значит эта самая четность зависит только от количества нечетных ai, а точнее, значение выражения

будет нечетно, если в нем нечетное количество нечетных ai, и будет четно, если в нем четное количество нечетных ai – получается полезное свойство таких выражений.

Еще придумал задачки на разводку печатных плат.

1.Пример, чтобы стало ясно – что такое разводка (трассировка) печатных плат.

Дана печатная плата – это расчерченный прямоугольник, в нашем примере его размеры: 8х6. На этой плате имеются контакты в узлах сетки – у нас они пронумерованы от 1до 8. Задание – провести по линиям сетки нужные соединения: 1-2, 3-4, 5-6 и 7-8   так, чтобы они не пересекались.

Вот вариант трассировки данной платы (синим).

Задача 1. Выполните трассировку печатной платы – нужно соединить контакты

1-2, 3-4, 5-6, 7-8,

9-10, 11-12, 13-14.

Задача 2. Соединить 1-2, 3-4, 5-6, 7-8, 9-10, 11-12, 13-14.

                                             

Задача 3. Соединить 1-2, 3-4, 5-6, 7-8, 9-10, 11-12.