Методическое пособие по выполнению практических работ по предмету "Теория вероятностей и математическая статистика"

Автор: Белова Марина Владимировна

Дата публикации: 14.03.2016

Номер материала: 414

Прочие методические материалы
Математика
Без класса

Министерство  образования  Тверской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение    

ГБПОУ «Осташковский  колледж»

Методическое пособие по выполнению практических работ 

по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика»

для специальности №09.02.03

«Программирование в компьютерных системах»

                                       

Осташков  2015 г.


Рассмотрена на заседании предметной комиссии общепрофессиональных и специальных  дисциплин по специальности 230115

« ____»  ноября   2015 г.

Председатель  комиссии:

   ____________ Суркова М.В.

«У Т В Е Р Ж Д А Ю»

  Заместитель  директора

  по  учебной  работе

   

« ____» ноября   2015 г.

    _____________  Потоцкая Е.А.

Составлена в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника для специальности №09.02.03  «Программирование в компьютерных системах»

   

Автор:_____________ Белова М.В.,

                                       преподаватель ГБПОУ «Осташковский колледж»

Рецензенты:

                                 


Содержание.

Пояснительная записка.        

Практическая работа №1: «Решение задач по алгебре событий».        

Практическая работа №2: «Решение задач по комбинаторике».        

Практическая работа №3 «Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятностей».        

Практическая работа №4 «Решение задач на сложение и умножение вероятностей».        

Практическая работа №5 «Решение задач по формуле полной вероятности событий и по формуле Байеса».        

Практическая работа №6 «Решение задач на законы распределения вероятностей дискретных случайных величин».        

Практическая работа №7 «Нахождение числовых характеристик дискретных случайных величин».        

Практическая работа №8 «Вычисление функции и плотности распределения непрерывных случайных величин».        

Практическая работа №9 «Вычисление числовых характеристик важнейших непрерывных распределений».        

Практическая работа №10 «Вычисление плотности распределения одного случайного аргумента».        

Практическая работа №11 «Построение графических изображений выборок и эмпирических функций распределения».        

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии».        

Практическая работа №13 «Решение задач на доверительный интервал».        

Практическая работа №14 «Расчёт сводных характеристик выборки методом произведений».        

Практическая работа №15 «Расчёт сводных характеристик выборки методом сумм».        

Самостоятельная работа.        

Литература.        


Пояснительная записка.

Учебная дисциплина "Теория вероятностей и математическая статистика" – это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Во всех случаях, когда применяются вероятностные методы исследования, их цель состоит в том, чтобы, минуя слишком сложное изучение отдельного явления, обусловленного очень большим количеством факторов, обратиться непосредственно к законам, управляющим массами случайных явлений. Изучение этих законов позволяет не только осуществить научный прогноз в своеобразной области случайных явлений, но в ряде случаев помогает целенаправленно влиять на ход случайных явлений, контролировать их, ограничивать сферу действий случайности.

Вероятностный метод в науке не противопоставляет себя классическому методу точных наук, а является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учётом присущих ему элементов случайности.

Характерным для современного этапа развития любой науки является широкое и плодотворное применение вероятностных и статистических методов. Это вполне естественно, так как при углублённом изучении любого круга явлений неизбежно наступает этап, когда требуется не только выявление основных закономерностей, но и анализ возможных отклонений от них. В одних науках, в силу специфики предмета и исторических условий, внедрение вероятностных и статистических методов наблюдается раньше, в других – позже. В настоящее время нет почти ни одной науки, в которой так или иначе не применялись бы вероятностные и статистические методы.

Математические законы теории вероятностей – отражение реальных статистических законов, объективно существующих в массовых случайных явлениях природы. К изучению этих явлений теория вероятностей применяет математический метод и по своему методу является одним из разделов математики, столь же логически точным и строгим, как и другие математические науки.

В соответствии с  учебным  планом  техникума на дисциплину "Теория вероятностей и математическая статистика" отводится 76 часов, в том числе 30 часов практических  работ.

Решение задач по теории вероятностей и математической статистике у студентов техникума часто сопряжено со многими трудностями. Помочь студенту преодолевать эти трудности, научить применять теоретические знания к решению задач по всем разделам курса теории вероятностей и математической статистики – основное назначение данного пособия.

Известно, что при самостоятельном решении задач многие студенты нуждаются в постоянных консультациях по приёмам и методам их решения, так как найти путь к решению задачи без помощи преподавателя или соответствующего пособия студенту не под силу. Такие консультации студент может получить в данном пособии.

По теме каждой практической работы приводятся основные определения и формулы и  задачи с решением.

В пособии также приведены задания для выполнения семестровой самостоятельной внеаудиторной работы студентов.


Практическая работа №1: «Решение задач по алгебре событий».

Основные понятия и определения.

Пусть  - пространство элементарных событий рассматриваемого опыта. Для каждого возможного в этом опыте события А выделим совокупность всех элементарных событий, наступление которых необходимо влечёт наступление А. Эти элементарные события благоприятствуют появлению А. Множество этих элементарных событий обозначим тем же символом А, что и соответствующее событие.

        Таким образом, событие А состоит в том, что произошло одно из элементарных событий, входящих в указанное множество А. Мы отождествляем событие А и соответствующее ему множество А элементарных событий.

        Событие называется достоверным, если оно наступает в результате появления любого элементарного события. Обозначение:  .

Невозможным назовём событие, не наступающее ни при каком элементарном событии. Обозначение: .

Пример. В опыте с кубиком достоверным является событие, что выпадет число, меньшее 7. Невозможным – выпадет отрицательное число.

Суммой (или объединением) двух событий  А и В назовём событие А+В (или АВ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А, или В. Сумме событий А и В соответствует объединение множеств А и В. Очевидные соотношения: А+=А, А+=, А+А=А.

Пример. Событие «выпало чётное» является суммой событий: выпало 2, выпало 4, выпало 6.

Произведением (или пересечением) двух событий  А и В назовём событие АВ (или АВ), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и А, и В. Произведению событий А и В соответствует пересечение множеств А и В.

Очевидные соотношения: А=, А=А, АА=А.

Пример. «Выпало 5» является пересечением событий: выпало нечётное и выпало больше 3-х.

Два события назовём несовместными, если их одновременное появление в опыте невозможно, т.е. АВ=.

Пример. Выпало чётное число и выпало нечётное число – события несовместные.

Событие  назовём противоположным к А, если оно происходит тогда и только тогда, когда А не происходит. Очевидные соотношения: А+=, А=, =А.

Пример. Выпало чётное число и выпало нечётное число – события противоположные.

Разностью событий А и В назовём событие А\В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В. Очевидные соотношения: =\А,  А\В=А.

Операции сложения и умножения обладают следующими свойствами: А+В=В+А, АВ=ВА, А(В+С)=АВ+АС, А(ВС)=(АВ)С.

Пример. Производится два выстрела по цели. Пусть событие А – попадание в цель при первом выстреле и В – при втором, тогда  и - промах соответственно при первом и втором выстрелах. Обозначим поражение цели событием С и примем, что для этого достаточно хотя бы одного попадания. Требуется выразить С через А и В.

Решение. Цель будет поражена в следующих случаях: попадание при первом и промах при втором; промах при первом и попадание при втором; попадание при первом и втором выстрелах. Перечисленные варианты можно соответственно записать: А,  В и АВ. Интересующее нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов (хотя бы одного), то есть

С= А+В+АВ.

С другой стороны, событие , противоположное С, есть промах при двух выстрелах, то есть , отсюда искомое событие С можно записать в виде С=.


Практическая работа №2: «Решение задач по комбинаторике».

Комбинаторными задачами называются задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить какое-либо условие.

Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов:

, где n!=1*2*3*…*n

Пример. Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?

Решение. Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно . Получаем =.

Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов:

.

Пример. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?

Решение. Цифра 5 обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5!=5*4*3*2*1=120.

Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов:

Пример. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?

Решение. Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно .

Свойства сочетаний:

                                     

Практическая работа №3 «Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятностей».

Классическое определение вероятности: вероятность Р(А) события А равна отношению числа возможных результатов опыта (М), благоприятствующих событию А, к числу всех возможных результатов опыта (N):

.

Пример 1. Подбрасывание игральной кости один раз. Событие А состоит в том, что выпавшее число очков – чётно. В этом случае N=6 – число граней куба; М=3 – число граней с чётными номерами; тогда Р(А)=3/6=1/2.

Пример 2. Подбрасывание симметричной монеты 2 раза. Событие А состоит в том, что выпало ровно 2 герба. В этом случае N=4, т.к. ={ГГ, ГР, РГ, РР}; М=1, т.к. А={ГГ}. Тогда Р(А)= ¼.

Пример 3. Вытягивание шара из урны, содержащей 2 белых и 3 чёрных шара. Событие А состоит в том, что вытянули чёрный шар. В этом случае N=2+3=5 (общее число шаров в урне), М=3 (число чёрных шаров), тогда Р(А)=3/5.

Пример 4. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Какова вероятность того, что он с первого раза наберёт эти цифры правильно, если он помнит, что они различны?

Решение. Обозначим А – событие, состоящее в том, что абонент, набрав произвольно две цифры, угадал их правильно. М – число правильных вариантов, очевидно, что М=1; N – число различных цифр, . Таким образом, Р(А)=M/N=1/90.

Пример 5. Шесть шариков случайным образом располагаются в шести ящиках так, что для каждого шарика равновероятно попадание в любой ящик и в одном ящике может находиться несколько шариков. Какова вероятность того, что в каждом ящике окажется по одному шарику?

Решение. Событие А – в каждом ящике по одному шарику. М – число вариантов распределения шариков, при которых в каждый ящик попадает по одному шарику, М=6! (число способов переставить между собой 6 элементов). N – общее число вариантов N=66 (так как каждый шарик может попасть в каждый из ящиков). В результате получаем .

Пример 6. В урне 3 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Обозначим: А – событие, состоящее в появлении белых шаров; N – число способов вытащить 2 шара из 7; ; M – число способов вытащить 2 белых шара из имеющихся 3 белых шаров; .

Практическая работа №4 «Решение задач на сложение и умножение вероятностей».

Вероятность противоположного события  определяется по формуле: р()=1- р(А).

Для несовместных событий вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле:

р(А+В)=р(А)+р(В).

Пример. Завод производит 85% продукции первого сорта и 10% - второго. Остальные изделия считаются браком. Какова вероятность, что взяв наудачу изделие, мы получим брак?

Решение. Р=1-(0,85+0,1)=0,05.

Вероятность суммы двух любых случайных событий равна р(А+В)=р(А)+р(В)-р(АВ).

Пример. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по истории, 4 – по английскому языку, причём 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, не имеющих двоек по этим предметам?

Решение. Р = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70%)

Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло, называется

Пример. В урне лежит N шаров, из них n белых. Из неё достают шар и, не кладя его обратно, достают ещё один. Чему равна вероятность того, что оба шара белые?

Решение. Обозначим А – событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар, через В событие, состоящее в том, что первым вынули чёрный шар, а через С событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда

;  ;  ;  ;

Пример. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется счастливым.

Решение. Пусть событие А заключается в том, что первый вытащенный билет оказался для студента «плохим», а В – второй – «хорошим». Поскольку после наступления события А один из «плохих» уже извлечён, то остаётся всего 29 билетов, из которых 25 студент знает. Отсюда искомая вероятность равна Р(В/А)=25/29.

Вероятность произведения:

p(AB)=p(A)*p(B|A)=p(B)*p(A|B).

Пример. По условиям предыдущего примера найти вероятность успешной сдачи экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет, или, не ответив на первый, обязательно ответить на второй.

Решение. Пусть события А и В заключаются в том, что соответственно первый и второй билеты «хорошие».  Тогда  - появление «плохого» билета в первый раз. Экзамен будет сдан, если произойдёт событие А, или одновременно  и В. То есть искомое событие С – успешная сдача экзамена выражается следующим образом: С=А+В. Отсюда

р(С)=р(А+В)=р(А)+р(В)=р(А)+р()р(В/)=25/30+5/30*25/29=0,977

или

р(С)=1 - р()=1 - р(*)=1 - р()* р(/)=1 -5/30*4/29=0,977

Случайные события А и В назовём независимыми, если

р(АВ)=р(А)*р(В).

Пример. Рассмотрим предыдущий пример с урной, содержащей N шаров, из которых n белых, но изменим опыт: вынув шар, мы кладём его обратно и только затем вынимаем следующий. А – событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар, В – событие, состоящее в том, что первым вынули чёрный шар, а С – событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда

;  ;  ;  ; ;

т.е. в этом случае события А и С независимы.


Практическая работа №5 «Решение задач по формуле полной вероятности событий и по формуле Байеса».

Пусть события  удовлетворяют условиям

, если , и .

Такую совокупность называют полной группой событий.

Пусть интересующее нас событие А может наступить после реализации одного из Hi  и известны вероятности p(Hi), p(A|Hi). В этом случае справедлива формула полной вероятности

.

 

Пример 1. Литьё в болванках поступает из 2-х цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, а второго 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка имеет дефект.

Решение. p(H1)=0,7; p(H2)=0,3; p(A|H1)=0,1; p(A|H2)=0,2; Р=0,7*0,1+0,3*0,2=0,13 (13% болванок в цехе дефектны).

 

Пример 2. В урне лежит N шаров, из которых n белых. Достаём из неё (без возвращения) два шара. Какова вероятность, что второй шар белый?

Решение.  H1 первый шар белый;  р (H1)=n/N;

                   H2 первый шар чёрный; p(H2)=(N-n)/N;

A – второй шар чёрный; p(A|H1)=(n-1)/(N-1); p(A|H2)=n/(N-1)

Р(A)=p(H1)*p(A|H1)+p(H2)*p(A|H2)=

 

Формула Байеса.

Предположим, что выполняются условия предыдущего пункта и дополнительно известно, что событие А произошло. Найдём вероятность того, что при этом была реализована гипотеза Hk. По определению условной вероятности

 

Полученное соотношение  - это формула Байеса. Она позволяет по известным (до проведения опыта) p(Hi)  и условным вероятностям p(A|Hi) определить условную вероятность p(Hi/А), которую называют апостериорной (то есть полученной при условии, что в результате опыта событие А уже произошло).

Пример 3. 30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом для представителя каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведённые анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулёза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.

Решение. Пусть H1, H2, H3 – гипотезы, заключающиеся в том, что пациент принадлежит соответственно первой, второй и третьей группам. Очевидно, что они образуют полную группу событий, причём  p(H1)=0,3; p(H2)=0,2; p(H3)=0,5. По условию событие А, обнаружение туберкулёза у больного, произошло, причём условные вероятности по данным условия равны p(А/H1)=0,02; p(А/H2)=0,03; и p(А/H3)=0,01. Апостериорную вероятность p(H3/А) вычисляем по формуле Байеса:

.


Практическая работа №6 «Решение задач на законы распределения вероятностей дискретных случайных величин».

Случайная величина – величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.

Дискретной  назовём случайную величину, возможные значения которой образуют конечное множество.

Законом распределения дискретной случайной величины называется правило, по которому каждому возможному значению xi ставится в соответствие вероятность pi, с которой случайная величина может принять это значение, причём  .

Пример. Абитуриент сдаёт два вступительных экзамена: по математике и физике. Составить закон распределения случайной величины х, числа полученных пятёрок, если вероятность получения пятёрки по математике равна 0,8, а по физике – 0,6.

Решение. Обозначим А1 и  А2 – события, заключающиеся в том, что и математика, и физика сданы на 5. Очевидно, возможные значения х есть 0, 1, 2, причём

Полученные результаты сведём в таблицу:

xi

0

1

2

pi

0.08

0.44

0.48

   

.


Практическая работа №7 «Нахождение числовых характеристик дискретных случайных величин».

К важнейшим числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием  дискретной случайной величины х называется произведение всех её возможных значений на их вероятности:

Свойства математического ожидания:

- математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

  М(С)=С

- постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

  М(Сх)=С*М(х)

- математическое ожидание суммы случайных величины равно сумме математических ожиданий слагаемых:

   

- математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

   М(х12*…*хn)=М(х1)*М(х2)*…М(хn)

Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(x)=M((x-M(x))2)  или D(x)=M(x2) – (M(x))2

Среднеквадратическое отклонение:

Свойства дисперсии:

- дисперсия постоянной равно нулю:

  D(С)=0

- постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

  D(Сх)=С2*D(х)

- дисперсия суммы (разности) случайных величины равно сумме дисперсий слагаемых:

   

Свойства среднеквадратического отклонения:

-

-

Пример 1. Закон распределения случайной величины задан таблично. Найти р(х<2), р(х>4), р(2≤х≤4), математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

xi

1

2

3

4

5

pi

0,1

0,2

0,4

0,2

0,1

Решение.  р(х<2)=0,1;

                   р(х>4)=0,1;

                   р(2≤х≤4)=0,2+0,4+0,2=0,8;

                   М(х)=1*0,1+2*0,2+3*0,4+4*0,2+5*0,1=3;

                   D(x)=12*0,1+22*0,2+32*0,4+42*0,2+52*0,1-32=1,2

                  σ(x)==1,095

Пример 2. Фермер считает, что, принимая во внимание различные потери и колебания цен, он сможет выручить не более 60 центов за десяток яиц и потерять не более 20-ти центов за десяток и что вероятности возможных выигрышей и потерь таковы:

цена за 10 яиц

0,6

0,4

0,2

0

-0,2

Р

0,2

0,5

0,2

0,06

0,04

Как оценить ожидаемую прибыль от продажи десятка яиц; от ожидаемых им в этом году 100000 яиц?

Решение. х – случайная, прибыль от продажи 10 яиц.

М(х)=0,6*0,2+0,4*0,5+0,2*0,2+0*0,06-0,2*0,04=0,352

М(10000х)=10000*0,352=3520 $

D(x)=0.62*0.2+0.42*0.5+0.22*0.2+02*0.06+(-0.2)2*0.04-0.3522=0.037696

                  σ(x)==0.194154578

D(10000x)=100002* D(x)=19415457.76

σ(x)==0.441


Практическая работа №8 «Вычисление функции и плотности распределения непрерывных случайных величин».

Случайная величина – величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.

Непрерывной назовём случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого промежутка.

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины х можно задавать либо функцией распределения F(x)=p(ξ<x), либо её производной f(x)=, называемой плотностью вероятности.

Зная  F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:

 f(x)=F'(x),

а зная f(x), найдём функцию распределения:

Для непрерывной случайной величины х вероятность попадания её в промежуток с концами a и b равна:

.

Причём .

Пример. Задана следующая функция распределения:

Найти плотность распределения.

Решение.

Зная  F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:

 f(x)=F'(x)= 

Равномерное распределение. Случайная величина х называется равномерно распределённой на [a, b], если её плотность распределения f(x) на [a, b] постоянна, а вне [a, b] равна 0:

,

Пример 1. Время ожидания автобуса (х) измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0, 30]. Определить, что ждать придётся не более 10 минут.

Решение.

Пример 2. Задана плотность распределения:  

Найти h.

Решение.

h-2=1  h=3

Нормальное распределение. Случайная величина х называется нормально распределённой, если её плотность распределения f(x) имеет вид:

 ,  

где а и σ – параметры нормального распределения, σ >0.

В этом случае говорят, что х распределено нормально согласно закону N(a, σ).

Если а=0 и         σ=1, то  и эта функция обозначается через φ(х) и называется плотностью нормированного и центрированного нормального распределения. Функция распределения в этом случае обозначается через .

Значения Ф(х) затабулированы, .

Пример. Рост мужчины в Москве имеет нормальное распределение. Средний рост мужчины в Москве а=175 см, σ=10 см. Какова вероятность, что рост первого встречного мужчины будет в пределах 160-190 см?

Решение.

Правило трёх сигм. Случайная величина х распределена нормально N(a, σ).

Пример. Рост мужчины в Москве имеет нормальное распределение. Средний рост мужчины в Москве а=175 см, σ=10 см. Какова вероятность, что рост первого встречного мужчины будет в пределах 145-205 см?

Решение.

Правило двух сигм. Случайная величина х распределена нормально N(a, σ).

Правило одной сигмы. Случайная величина х распределена нормально N(a, σ).


Практическая работа №9 «Вычисление числовых характеристик важнейших непрерывных распределений».

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле:

.

Дисперсия непрерывной случайной величины определяется по формуле:

.

Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин.

Равномерное распределение.  

Пример. Время ожидания автобуса (х) измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0, 30]. Определить среднее время ожидания автобуса и дисперсию.

Решение.


Практическая работа №10 «Вычисление плотности распределения одного случайного аргумента».

Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называют вероятность совместного выполнения двух неравенств:

F(x, y) = P{X<x, Y<y}.

Плотность распределения двумерной случайной величины вычисляется как вторая смешанная частная производная функции распределения:

f(x,y) = Fxy′′(x,y).

Выражение функции распределения через плотность:

 

Свойства плотности распределения.

  1. Плотность распределения двумерного случайного вектора есть функция неотрицательная: f(x,y) 0.
  2. Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения двумерного случайного вектора равен единице:

                   

  1. Плотности распределения компонент случайного вектора могут быть получены по формулам:

                      ,      

          Закон распределения дискретного случайного вектора (X, Y) – это совокупность всех возможных значений случайного вектора (X, Y) и их вероятностей:

pij=P{X=xi, Y=yj}, где i=1, 2, …, n, j=1, 2, …, m.

n, m – число возможных значений случайных величин X и Y. 

Так же, как и в непрерывном случае:

,    ,   .

Пример 1. Качество продукции характеризуется двумя случайными величинами: X и Y. Закон распределения случайного вектора (X,Y) представлен в таблице:

yj

xi

0

0,1

0,2

0,3

pi

5

0,2

0,1

0,05

0,05

0,4

6

0

0,15

0,15

0,1

0,4

7

0

0

0,1

0,1

0,2

pj

0,2

0,25

0,3

0,25

На пересечении i-той строки и j-того столбца таблицы находятся вероятности pij=P{X=xi, Y=yj}.

Найти закон распределения координат X и Y случайного вектора.

Решение. Вероятность события {X=xi}=pi, есть сумма вероятностей, находящихся в i-той строке. Вероятности pi находятся в последнем столбце таблицы.

Ряд распределения случайной величины X имеет вид:

xi

5

6

7

pi

0,4

0,4

0,2

Ряд распределения Y находим, вычисляя суммы элементов столбцов таблицы. Эти вероятности pj находятся в последней строке таблицы.

Ряд распределения случайной величины Y  имеет вид:

yj

0

0,1

0,2

0,3

pj 

0,2

0,25

0,3

0,25

Условное распределение компонент дискретного случайного вектора (X, Y) – это ряд распределения одной случайной величины, вычисленной при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение, а именно:

;  

Пример 2. В условиях закон распределения дискретного случайного вектора (X,Y) из примера 1, найти условное распределение случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла значение y2=0,1.

 Решение. Выбрав значения pi2 из столбца таблицы, соответствующего значению y2=0,1, и разделив их на 0,25, получаем следующее условное распределение X при условии, что Y=0,1:

 

xi

5

6

pX(xi|y2)

0,4

0,6


Практическая работа №11 «Построение графических изображений выборок и эмпирических функций распределения».

Для наглядного представления статистического распределения пользуются графическим изображением вариационных рядов (полигоном, гистограммой и куммулятой).

В случае дискретного распределения на оси абсцисс откладывают отдельные значения признака. Из принимаемых значений xi проводят перпендикуляры, длины которых пропорциональны частотам mi, затем концы соседних перпендикуляров соединяют отрезками прямых. Это полигон для дискретных вариационных рядов.

Пример. На телефонной станции проводились наблюдения над числом Х неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты:

Число в мин (xi)

0

1

2

3

4

5

7

Частоты (mi)

8

17

16

10

6

2

1

=60

 

Гистограмма строится только для интервального вариационного ряда (группированной выборки). На каждом из интервалов значений как на основании, строят прямоугольник с высотой, пропорциональной mi. Если середины верхних сторон прямоугольников соединить отрезками прямых, а концы этой ломаной ещё соединить с серединами соседних интервалов, частоты которых равны 0, а длина равна длине соседнего интервала, то получим полигон интервального ряда.

Пример.

Выработка продавцов

Число продавцов

В процентах к итогу

Кумулятивная (накопленная) численность

Накопленная относительная частота

80-100

5

10

5

0,1

100-120

10

20

15 (5+10)

0,3

120-140

20

40

35 (15+20)

0,7

140-160

10

20

45 (35+10)

0,9

160-180

5

10

50 (45+5)

1

итого

50

100

Кумулята – график накопленных частот, сглаженное графическое изображение эмпирической функции распределения. При построении кумуляты в точке, соответствующей принимаемому значению, для дискретного ряда и в правом конце интервала для интервального ряда строится перпендикуляр, высота которого пропорциональна накопленной частоте, затем верхние концы перпендикуляров соединяются между собой с помощью прямолинейных отрезков.

 «Накопленные частоты» - это и есть значения эмпирической функции распределения, а кумулята – её сглаженное графическое изображение.


Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии».

Пусть x1, x2, …, xn – данные наблюдений над случайной величиной X. Средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины X называется частное от деления суммы всех этих значений на их число:

  (1).

Если данные наблюдений представлены в виде дискретного ряда, где x1, x2, …, xn – наблюдаемые варианты, а m1, m2, …, mn – соответствующие им частоты, причём , то, по определению,

 (2).

Вычисленное по данной формуле среднее арифметическое называется взвешенным, так как частоты mi называются весами, а операция умножения xi  на mi – взвешиванием.

Для интервального вариационного ряда за xi  принимают середину i-го интервала, а за mi  - соответствующую интервальную частоту:

 (3).

Основные свойства среднего арифметического:

  1. Среднее арифметическое алгебраической суммы соответствующих друг другу значений равна алгебраической сумме средних арифметических:

.

  1. Если ряд наблюдений состоит из двух непересекающихся групп наблюдений, то среднее арифметическое всего ряда наблюдений равно взвешенному среднему арифметическому групповых средних, причём весами являются объёмы соответствующих групп:

.

  1. Среднее арифметическое постоянной равно самой постоянной:

  1. Постоянную можно выносить за знак среднего арифметического:

  1. Сумма отклонений результатов наблюдений от их среднего арифметического равна нулю:

  1. Если все результаты наблюдений увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то среднее арифметическое увеличится (уменьшится) на то же число:

  1. Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то среднее арифметическое не изменится.

Выборочной дисперсией значений случайной величины X называется средне арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений этой величины от их среднего арифметического:

  (4).

Если данные наблюдений представлены в виде дискретного ряда, где x1, x2, …, xn – наблюдаемые варианты, а m1, m2, …, mn – соответствующие им частоты, причём , то выборочная дисперсия определяется формулой:

 (5).

Используя равенство , последнюю формулу можно представить в виде:

 (6).

Дисперсия, вычисленная по формулам 5 и 6, называется взвешенной выборочной дисперсией.

Основные свойства выборочной дисперсии:

  1. Дисперсия постоянной равна нулю:

         

  1. Если все результаты наблюдений увеличить (уменьшить) на одно и то же число С, то дисперсия не изменится: .
  2. Если все результаты наблюдений умножить на одно и то же число С, то имеет место равенство:

                   .

  1. Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то выборочная дисперсия не изменится.
  2. Выборочная дисперсия равна разности между средним арифметическим квадратов наблюдений над случайной величиной X и квадратом её среднего арифметического:

                   

Пример 1. По данным, приведённым в таблице, вычислить среднее арифметическое и дисперсию числа неправильных соединений в минуту.

Индекс

i

1

2

3

4

5

6

7

Число неправильных соединений в минуту

xi

0

1

2

3

4

5

7

Частота

mi

8

17

16

10

6

2

1

частость

8/60

17/60

16/60

10/60

6/60

2/60

1/60

Решение. Среднее арифметическое вычислим по формуле 2:

         Дисперсию вычисляем по формуле 5:

Пример 2. По данным, приведённым в таблице, вычислить среднее арифметическое  и дисперсию диаметра валика.

Решение. Среднее арифметическое вычислим по формуле 3:

Дисперсию вычисляем по формуле 6:


Практическая работа №13 «Решение задач на доверительный интервал».

 Если в процессе эксперимента для статистики получено некоторое значение, то значит оно принадлежит области Iβ, вероятность которой близка к 1. Эту вероятность называют доверительной вероятностью. Её обозначают β. По ней строят интервал, накрывающий значение оцениваемого параметра с вероятностью β. Его и называют доверительным интервалом с уровнем доверия β. Область Iβ и доверительный интервал по ней строятся в соответствии с распределением вероятностей используемой статистики.

Величина уровня доверия влияет на величину интервала: чем больше уровень доверия, тем шире интервал. Уровень доверия выбирается из соображений допустимого риска.

Формула для доверительного интервала для математического ожидания μ нормального распределения с уровнем доверия β для случая, когда известно среднеквадратическое отклонение распределения σ:

 (1)

Формула для доверительного интервала для математического ожидания μ нормального распределения с уровнем доверия β для случая, когда среднеквадратическое отклонение распределения σ неизвестно:

 (2)

Пример. Для проверки фасовочной установки были отобраны и взвешены 20 упаковок. Получены следующие результаты (в граммах):

246

247

247,3

247,4

251,7

252,5

252,6

252,8

252,8

252,9

253

253,6

254,6

254,7

254,8

256,1

256,3

256,8

257,4

259,2

Найти доверительный интервал для математического ожидания с надёжностью 0,95, предполагая, что измеряемая величина распределена нормально.

Решение. Находим точечные оценки a и σ:

Определяем по таблице распределения Стьюдента для доверительной вероятности β=0,95 и числу степеней свободы (n-1)=19 соответствующее значение tβ=2,093 и по формуле  находим искомый интервал:

или 251,27 а 254,69.

Практическая работа №14 «Расчёт сводных характеристик выборки методом произведений».

Признак – это основная отличительная черта, особенность изучаемого явления или процесса. Количественное представление признака называется показателем.

Результативный признак – исследуемый показатель процесса, характеризующий эффективность процесса.

Факторный признак – показатель, влияющий на значение результативного показателя.

Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака (Y) от факторных (x1, x2, …, xn), выражаемой в виде уравнения регрессии:

Y = f(x1, x2, …, xn).

Для характеристики связей между признаками используют следующие типы функций:

- линейную        ;

- гиперболическую        ;

- показательную        ;

- параболическую        ;

- степенную        .

Линейная функция используется в случае, если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, гиперболическая – если связь между Y и x, наоборот, обратная. Параболическая или степенная функция применяются, если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный значительно быстрее.

Линейная однофакторная регрессия: . Для нахождения параметров a0 и а1 используют метод наименьших квадратов. Сущность метода заключается в нахождении параметров a0 и а1, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии. Величину параметров a0 и а1 находим как решение системы нормальных уравнений:

, где n – объём исследуемой совокупности.

В уравнении регрессии свободный член регрессии коэффициент a0 показывает совокупное влияние на результативный признак неучтённых (не выделенных для исследования) факторов; его вклад в значение результирующего показателя не зависит от изменения факторов; параметр а1 – коэффициент регрессии – показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

Пример. По следующим данным, полагая, что зависимость между x и Y линейная, определить значения коэффициентов a0 и а1:

х

1

4

7

11

15

17

22

Y

3

6

10

14

18

24

30

Решение. Для определения величин a0 и а1 необходимо вычислить следующие значения: х, Y, xY, х2. Расчёты рекомендуется проводить в Excel и оформлять в виде таблицы:

№ п/п

х

Y

х2

xY

1

1

3

1

3

2,07

2

4

6

16

24

5,92

3

7

10

49

70

9,77

4

11

14

121

154

14,91

5

15

18

225

270

20,05

6

17

24

289

408

22,61

7

22

30

484

660

29,03

Итого

77

105

1185

1589

104,36

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения: a0=0,876, а1=1,284. Следовательно, =0,876+1,284х. Т.к. а1>0, связь между признаками прямая (в случае обратной связи коэффициент регрессии отрицательный). При увеличении х на единицу,  - увеличивается на 1,284. Линейную модель удобно представлять графически:

Практическая работа №15 «Расчёт сводных характеристик выборки методом сумм».

Однофакторная параболическая модель второй степени - параболическая регрессия применяется, если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный значительно быстрее. В этом случае уравнение регрессии будет иметь вид:

;

В данном случае задача сводится к определению неизвестных параметров: а0, а1,. Величину параметров a0, а1 и а2 находим как решение системы нормальных уравнений:

,

Пример. По следующим данным, полагая, что зависимость между x и Y параболическая, определить значения коэффициентов a0, а1 и а2:

х

1

2

3

4

5

7

10

14

17

23

Y

1

3

6

7

8

11

16

21

27

39

Решение. Для определения величин a0, а1 и а2 необходимо вычислить следующие значения: х, Y, xY, х2, х3, x4, х2Y. Расчёты рекомендуется проводить в Excel и оформлять в виде таблицы:

№  п/п

х

Y

xY

х2

х2Y

х3

x4

Δ= Y - 

1

1

1

1

1

1

1

1

2,098

-1,098

2

2

3

6

4

12

8

16

3,488

-0,488

3

3

6

18

9

54

27

81

4,903

1,097

4

4

7

28

16

102

64

256

6,344

0,656

5

5

8

40

25

200

125

725

7,809

0,191

6

7

11

77

49

539

343

2401

10,815

0,185

7

10

16

160

100

1600

1000

10000

15,51

0,49

8

14

21

294

196

4116

2744

38416

22,13

-1,13

9

17

27

459

289

7803

4913

83521

27,36

-0,36

10

23

39

897

529

20631

12167

279841

38,5

0,5

Итого

86

139

1980

1218

35058

21392

415258

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения: a0=0,734, а1=1,352, а2=0,0126. Следовательно, уравнение регрессии имеет вид: =0,734+1,352х+0,0126х2. Из таблицы видно, что вычисленные по уравнению регрессии значения   незначительно отличаются от эмпирических данных.

Оценка обратной зависимости между Y и x, может быть дана на основе уравнения гиперболы:

 Величину параметров a0 и а1 находим как решение системы нормальных уравнений:

,

Пример. По следующим данным, полагая, что зависимость между x и Y выражается уравнением гиперболы, определить значения коэффициентов a0 и а1:

х

1

3

4

6

7

9

10

Y

14

11

11

9

8

7

5

Решение. Для определения величин a0 и а1 расчёты рекомендуется проводить в Excel и оформлять в виде таблицы:

№ п/п

х

Y

1/х

Y/х

1/х2

Δi

1

1

14

1

14

1

9,73

4,27

2

3

11

0,33

3,67

0,11

9,26

1,74

3

4

11

0,25

2,75

0,062

9,20

1,80

4

6

9

0,67

1,5

0,028

9,13

-0,13

5

7

8

0,14

1,14

0,02

9,12

-1,12

6

9

7

0,11

0,78

0,012

9,10

-2,1

7

10

5

0,10

0,5

0,01

9,09

-4,09

Итого

40

65

2,6

24,34

1,242

64,63

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения: a0=9,02, а1=0,71. Следовательно, уравнение регрессии имеет вид: =9,02+0,71/х.


Самостоятельная работа.

Выполняется  в виде семестрового задания. Выдаётся после изучения первых двух разделов и в оформленном виде сдаётся в конце семестра. В задание включены 12 задач по изученным темам и основным формулам теории вероятности.

Система оценки работы:

№ задачи

Набираемый балл

Шкала перевода баллов в оценки

1

1

менее 9

2 (неуд)

2

2

3

2

4

2

9-12

3 (удовл.)

5

1

6

2

7

2

13-16

4 (хорошо)

8

2

9

1

10

1

17-20

5 (отлично)

11

2

12

2

всего

20

Данные своей задачи взять из таблицы по номеру, соответствующему порядковому номеру в группе.

ЗАДАЧИ для самостоятельной работы:

  1. В книжной лотерее разыгрывается n книг. Всего в урне имеется N билетов. Первый подошедший к урне вынимает билет. Определить вероятность того, что билет окажется выигрышным.

  1. В круг радиуса r случайным образом брошена точка так, что её любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной а.

  1. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны р1 и р2. Найти вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик, и вероятность того, что при пожаре сработает ровно один датчик.

  1. В тире имеется 5 различных по точности боя винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка соответственно равна 0.5, 0.55, 0.7, 0.75 и Р. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно выбранной винтовки? Попадание произошло. Чему равна вероятность того, что была выбрана первая винтовка?

  1. Вероятность того, что баскетболист при броске попадёт в корзину, равна р. Определить вероятность того, что, сделав n бросков, он m раз попадёт.

  1. Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна 0р. Определить вероятность того, что в партии из N деталей будет: ровно 3 бракованных; не более 3-х.

  1. В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. найти вероятность того, что число одновременно включённых ламп будет заключено между m1 и m2.

  1. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно два вызова; более двух.

  1. Случайная величина X задана рядом распределения:

 xi         

-1

0

1

pi

p

1-2p

p

        Найти Р{X<0}, P{X>-1}, P{-1<X<1}. Найти MX, DX.

        

  1. Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y=2X+3 (X задана в предыдущей задаче).

  1. Ошибка взвешивания – случайная величина, распределённая по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0, и среднеквадратическим отклонением, равным n грамм. Найти вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю N грамм.

  1. Проверив n изделий в партии, обнаружили, что m изделий высшего сорта, а n-m – нет. Сколько надо проверить изделий, чтобы с уверенностью 95% определить долю высшего сорта с точностью до 0,01?


Данные к задачам 1-5.

n

N

r

a

p1

p2

P

n

m

p

1

9

50

9

4

0.7

0.9

0.9

8

3

0.2

2

8

50

10

4

0.6

0.7

0.7

6

4

0.1

3

7

50

10

6

0.7

0.9

0.75

7

3