"Конспект урока по технической механике. Решение задач по разделу "Сопротивление материалов"

Автор: Прохорова Марина Станиславовна

Дата публикации: 14.03.2016

Номер материала: 462

Конспекты
Прочее
Без класса

Министерство образования Тверской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Осташковский колледж»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

«КОНСПЕКТ УРОКА ПО ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.

Решение задач по разделу «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»».

2016 г.


Организация-разработчик:

Государственное бюджетное профессиональное образовательное

учреждение «Осташковский колледж» (ГБПОУ «Осташковский колледж»).

Разработчики:

Прохорова Марина Станиславовна, преподаватель ГБПОУ «Осташковский

колледж».

Рекомендована цикловой методической комиссией

профессиональных и специальных дисциплин по специальности

15.02.08 (151901) «Технология машиностроения», протокол No 1

от 31 августа 2015 г.

© ГБПОУ «Осташковский колледж»

© Прохорова Марина Станиславовна,

преподаватель ГБПОУ «Осташковский колледж»

2


СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Закон Гука

Задача 1. Под действием силы F стержень удлинился на 0,95 мм. Модуль продольной упругости Е = 2·105 МПа. Найти напряжение σ в поперечном сечении бруса и площадь поперечного сечения. F = 24 кН.

F

l = 1200 мм Δl

Решение Продольная деформация стержня

ε = Δl/l = 0,95/1200 = 0,00079. Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня

σ = Е·ε = 2·105·0,00079 = 158 МПа. Площадь поперечного сечения стержня

А = F/σ = 24000/158 = 152 мм2.

Задача 2. В поперечном сечении стержня напряжение σ = 80 МПа. Модуль продольной упругости Е = 1·105 МПа. Длина стержня 1 м. Определить продольную деформацию и абсолютное удлинение стержня.

Решение Из закона Гука σ = Е·ε находим продольную деформацию стержня

ε = σ/E = 80/1·105 = 0,0008 = 0,08%. Абсолютное удлинение стержня

Δl= ε·l = 0,0008·1000 = 0,8 мм.

Задача 3. Определить абсолютное удлинение стержня и коэффициент Пуассона, если поперечная деформация ε' = 0,025%, площадь поперечного сечения А = 200 мм2, модуль продольной упругости

Е =2·105 МПа.

F = 20 кН

l = 1400 Δl

Решение Внутренняя сила в стержне N = F. Абсолютное удлинение стержня

Δl = Nl/EA = 20·103·1400/2·105·200 = 0.7 мм. Продольная деформация

ε = Δl/l = 0,7/1400 = 0,0005. Коэффициент Пуассона

μ = ε'/ε =0,00025/0,0005 = 0,5.

3


Задача 4. Стержень под действием силы F удлинился на 1,5 мм. Коэффициент Пуассона 0,29. Определить относительное сужение и жёсткость сечения стержня.

F = 50 кН

l = 1000 Δl

Решение Продольная сила N = F = 50 кН. Из формулы Δl = Nl/EA находим жёсткость стержня

ЕА = Nl/Δl = 50·103·103/1,5 = 33,3 MH. Продольная деформация стержня

ε = Δl/l = 1,5/1000 = 0,0015. Из формулы для коэффициента Пуассона μ = ε'/ε находим относительное сужение стержня

ε' = μ·ε = 0,29·0,0015·100 = 0,0435%.

Задача 5. Под действием силы F стержень получил относительное поперечное сужение ε'= 0,03%. Коэффициент Пуассона μ = 0,27. Модуль продольной упругости Е = 1,2·105 МПа. Определить напряжение в поперечном сечении стержня и коэффициент запаса прочности, если предел текучести материала σ

т

= 320 МПа.

Решение Из формулы для коэффициента Пуассона μ = ε'/ε находим продольную деформацию стержня

ε = ε' / μ = 0,0003/0,27 = 0,0011. σ = Е·ε =1,2·105·0,0011 = 132 МПа. Коэффициент запаса прочности

s = σ

т

/ σ = 320/132 = 2,4.

Задача 6. В поперечном сечении стержня напряжение σ = 140 МПа. Модуль продольной упругости Е = 2·105 МПа. Площадь поперечного сечения стержня А = 250 мм2. Длина стержня 4м. Определить абсолютное удлинение и силу, растягивающую стержень.

Решение Из формулы закона Гука σ = Е·ε находим продольную деформацию стержня

ε = σ/E = 140/2·105 = 0,0007. Абсолютное удлинение стержня

Δl= ε·l = 0,0007·4000 = 2,8 мм. Из формулы σ = F/A находим силу, растягивающую стержень

F = σ·A = 140·250 = 35000 H = 35 кН.

4


Расчёт на прочность при растяжении и сжатии

Задача 1. Определить поперечные размеры бруса квадратного сечения. F

1

= 40 кН, F

2

= 10 кН, [σ] = 160 МПа.

F

2

F

1

1 2

40 кН 30 кН

N

Решение Продольная сила на участке 2 бруса

N

1

= F

1

= 40 кН. Продольная сила на участке 1

N

2

= F

1

– F

2

= 40 – 10 = 30 кН. Опасными являются сечения бруса на участке 2. По ним находим размеры поперечного сечения бруса. Площадь поперечного сечения

А = N

1

/[σ] = 40000/160 = 250 мм2. Сторона квадрата

а = √ 250 = 15,8 мм. Принимаем а = 16 мм.

Задача 2. Проверить прочность бруса. F

1

= 20 кН, F

2

= 50 кН, А = 4 см2, [σ] = 140 МПа.

2A A

F

1

F

2

1 2

Решение На участке 2 продольная сила

N

2

= F

2

= 50 кН. Проверяем прочность бруса на этом участке

σ

2

= N

2

/A = 50000/400 = 125 МПа < [σ] = 140 МПа. Прочность бруса на участке 2 достаточна. На участке 1 продольная сила

N

1

= F

2

– F

1

= 50 – 30 = 20 кН. Напряжения растяжения на участке 1

σ

1

= N

1

/2A = 20000/2·400 = 25 МПа < [σ] = 140 МПа, т. е. напряжения значительно ниже допускаемых. Прочность бруса достаточна.

5


Задача 3. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Проверить прочность бруса. А = 0,9 см2, [σ] = 120 МПа.

А 0,8А А

F

1

= 7кН F

2

= 16 кН 1 2 3

9 кН

N

- 7 кН

100 МПа

σ

- 77,8 МПа - 97,2 МПа

Решение На участках 2 и 3 продольная сила

N

2

= N

3

= - F

1

= - 7 кН. На участке 1 продольная сила

N

1

= F

2

– F

1

= 16 – 7 = 9 кН. Нормальные напряжения:

σ

1

= N

1

/A = 9000/90 = 100 МПа, σ

2

= N

2

/0,8A = - 7000/0,8·90 = - 97,2 МПа, σ

3

= N

3

/A = - 7000/90 = - 77,8 МПа. Наибольшие напряжения на участке 1. Они меньше допускаемых

σ

1

= 100 МПа < [σ] = 120 МПа, следовательно, прочность бруса достаточна.

Задача 4. При затяжке болта создаётся осевая сила F = 12 кН. Допускаемое нормальное напряжение [σ] =100 МПа. Определить внутренний диаметр резьбы болта.

Решение Площадь поперечного сечения болта по внутреннему диаметру резьбы

A = F/[σ] =12000/100 = 120 мм2.

Внутренний диаметр резьбы болта из формулы A = πd

1

2/4

d

1

= √ 4A/π = √ 4·120/3,14 = 12,4 мм.

6


Расчёты на срез и смятие

Задача 1. Рассчитать диаметр болта из условия прочности на срез и смятие. δ

1

= 12 мм, δ = 20 мм, F = 120 кН, [τ

ср

] = 100 МПа, [σ

см

] = 240 МПа.

F/2

δ

1

F δ F/2

δ

1

Решение Так как болт работает на срез одновременно по двум сечениям, то площадь среза А

ср

= 2·πd2/4 = πd2/2. Поперечная сила

Q = F = 120 кН. По условию прочности на срез Q/A

ср

≤ [τ

ср

], откуда площадь поперечного сечения болта

А

ср

≥ Q/ [τ

ср

] = 120·103/100 =1200 мм2. Диаметр болта

d = √ 2A

ср

/π = √ 2·1200/3,14 = 27,6 мм. Принимаем d = 28 мм. Так как 2δ

1

> δ, то площадь смятия определяем по δ А

см

= d·δ = 28·20 = 560 мм2. По условию прочности на смятие

σ

см

= F/A

см

= 120·103/560 = 214 МПа < [σ

] = 240 МПа. По условиям смятия прочность болта достаточна.

Задача 2. Рассчитать диаметр заклёпки из условия прочности на срез и смятие. δ = 20 мм, F = 60 кН, [τ

ср

] = 100 МПа, [σ

] = 200 МПа.

δ F F

d

Решение Из условия прочности на срез Q/A

ср

≤ [τ

ср

] находим площадь среза А

ср

≥ Q/ [τ

ср

] = 60·103/100 = 600 мм2. Диаметр заклёпки

d = √ 4A

ср

/π = √ 4·600/3,14 = 27,6 мм. Принимаем d = 28 мм. Проверяем прочность заклёпки на смятие. Площадь смятия

А

см

= d·δ = 28·20 = 560 мм2. По условию прочности на смятие

σ

см

= F/A

см

= 60·103/560 = 107 МПа < [σ

] = 200 МПа. По условиям смятия прочность заклёпки достаточна.

7


Геометрические характеристики плоских сечений

Задача 1. Определить полярный момент инерции круга относительно его центра и осевые моменты инерции относительно центральных осей. Диаметр круга d = 32 мм.

y Решение

Полярный момент инерции

О

I

p

= 0,1d4 = 0,1·324 = 104858 мм4. x Осевые моменты инерции

I

x

О

= I

y

= 0,05d4 = 0,05·324 = 54429 мм4.

Задача 2. Определить полярный момент инерции поперечного сечения трубы относительно его центра и осевые моменты инерции относительно центральных осей. наружный диаметр трубы 27 мм, внутренний 25 мм.

Решение y

Отношение внутреннего диаметра трубы к наружному c = d

1

/d = 25/27 = 0,926. x Полярный момент инерции

I

p

= 0,1d4 (1 – c4). I

p

= 0,1·274 (1 – 0,9264) = 14083 мм4.

Осевые моменты инерции

I

x

= I

y

= 0,05d4 (1 – c4). I

x

= I

y

= 0,05·d4 (1 – 0,9264) = 7042 мм4.

Задача 3. Определить осевой момент инерции прямоугольного сечения относительно оси х

1

. Высота сечения h = 25 мм, ширина b = 16 мм.

b Решение

Осевой момент инерции относительно центральной оси х h х I

x

= bh3/12 = 16·253/12 = 20833 мм4. а Момент инерции относительно оси х

1 х

1

I

x1

= I

x

+ a2·A = 20833 +12,52·25·16 = 83333 мм4.

8


Расчёт на прочность при кручении

Задача 1. В поперечных сечениях вала возникает крутящий момент М

к

= 2 кНм. Диаметр вала d = 60 мм. Проверить прочность вала, если допускаемые касательные напряжения кручения [τ

к

] = 50 МПа.

Решение Полярный момент сопротивления

W

p

= 0,2d3 = 0,2·603 = 43200 мм3. Касательные напряжения в сечениях вала

τ

к

= М

к

/W

p

= 2·103·103/43200 = 46,3 МПа < [τ

к

] = 50 МПа. Касательные напряжения меньше допускаемых, следовательно, прочность вала достаточна.

Задача 2. Определить диаметр вала. Допускаемые касательные напряжения кручения [τ

к

] = 63 МПа.

Т = 4 кНм

Решение Крутящий момент во всех сечениях вала равен вращающему моменту

М

к

= Т = 4 кНм. Полярный момент сопротивления

W

p

= M

к

/[τ

к

] = 4·103·103/63 = 63490 мм3. Диаметр вала находим из формулы W

p

= 0,2d3 d = 3√ W

p

/0,2 = 3√ 63490/0,2 = 67,9 мм. Принимаем d = 68 мм.

Задача 3. Проверить прочность трубы с наружным диаметром d = 40 мм, внутренним d

1

= 36 мм. Труба скручивается моментом М

к

= 0,2 кНм. [τ

к

] = 50 МПа.

Решение Отношение внутреннего диаметра трубы к наружному

с = d

1

/d = 36/40 = 0,9. Полярный момент сопротивления

W

p

= 0,2d3 (1 – с4) = 0,2·403·(1 – 0,94) = 4403 мм3. Касательные напряжения в сечениях вала

τ

к

= М

к

/W

p

= 0,2·103·103/4403 = 45,4 МПа < [τ

к

] = 50 МПа. Расчётные касательные напряжения меньше допускаемых, следовательно, прочность вала достаточна.

9


Задача 4. Проверить прочность вала диаметром d = 40 мм, если Т

1

= 200 Нм, Т

2

= 600 Нм, Т

3

= 400 Нм, [τ

к

] = 40 МПа. Построить эпюру крутящих моментов.

Т

1

Т

2

Т

3

200 Нм

М

к

- 400 Нм

Решение Крутящие моменты определяем по методу сечений: на левом участке вала

М

к

= Т

1

= 200 Нм, на правом участке вала

М

к

= Т

3

= - 400 Нм. На правом участке вала крутящий момент больше по абсолютной величине. Здесь будут больше касательные напряжения, поэтому проверку на прочность делаем для правого участка вала.

Полярный момент сопротивления

W

p

= 0,2d3 = 0,2·403 = 12800 мм3. Касательные напряжения в сечениях вала

τ

к

= М

к

/W

p

= 400·103/12800 = 31,25 МПа < [τ

к

] = 40 МПа. Расчётные касательные напряжения меньше допускаемых, следовательно, прочность вала достаточна.

Задача 5. Определить диаметр вала. Т

1

= 100 Нм, Т

2

= 900 Нм, Т

3

= 800 Нм, [τ

к

] = 40 МПа.

Т

1

Т

2

Т

3

800 Нм

М

к

- 100 Нм

10


Решение Крутящие моменты определяем по методу сечений: на левом участке вала

М

к

= Т

1

= - 100 Нм, на правом участке вала

М

к

= Т

3

= 800 Нм. На правом участке вала крутящий момент больше по абсолютной величине. Здесь будут больше касательные напряжения, поэтому диаметр вала определяем по правому участку.

Полярный момент сопротивления

W

p

= M

к

/[τ

к

] = 800·103/40 = 20·103 мм3. Диаметр вала находим из формулы W

p

= 0,2d3 d = 3√ W

p

/0,2 = 3√ 20·103 /0,2 = 46,2 мм. Принимаем d = 47 мм.

Расчёт на прочность при изгибе

Задача 1. Определить диаметр оси, работающей на изгиб. Изгибающий момент М

и

= 3 кНм. Допускаемое напряжение изгиба [σ

и

] = 160МПа.

Решение Осевой момент сопротивления

W

x

= М

и

/ [σ

и

] = 3·103·103/160 = 18750 мм3. Из формулы W

x

= 0,1d3 находим диаметр оси d = 3√ W

x

/0,1 = 3√ 18750/0,1 = 57 мм.

Задача 2. Определить поперечные размеры резца квадратного сечения. [σ

и

] = 100 МПа.

l = 63

F = 1000 H

Решение Наибольшие напряжения будут в месте крепления резца в резцедержателе. Изгибающий момент в этом сечении резца

М

и

= Fl = 1000·63 = 63·103 Нмм. Осевой момент сопротивления

W

x

= М

и

/ [σ

и

] = 63·103/100 = 630 мм3. Из формулы W

x

= bh2/6 находим высоту и ширину державки резца h = b = 3√ 6·W

x

= 3√ 6·630 = 15,5 мм. Принимаем сечение державки резца b×h = 16×16 мм.

11


Задача 3. Проверить прочность бруса прямоугольного сечения, работающего на изгиб. М

и

= 120 Нм, [σ

и

] = 200 МПа.

Решение Осевой момент сопротивления

W

x

= bh2 / 6 = 10·202 /6 = 667 мм3. 20 Нормальные напряжения изгиба

σ

и

= М

и

/ W

x

= 120·103/667 = 180 МПа. 10 σ

и

< [σ

и

] = 200 МПа, следовательно, прочность бруса достаточна.

Задача 4. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Определить поперечные размеры балки прямоугольного сечения с отношением высоты сечения к ширине h/b = 1,6. [σ

и

] = 200 МПа.

R

A

F = 20 кН R

B

M

A C

B 2м 2м

15 кН

Q

- 5 кН

30 кНм

20 кНм

М

и

Решение Определяем реакции опор. ΣМ

А

= 0. - F·2 + R

C

·4 + M = 0. R

C

= (F·2 – M)/4 = (20·2 – 20)/4 = 5 кН. ΣM

C

= 0. - R

A

·4 + F·2 + M = 0. R

A

= (F·2 + M)/4 = (20·2 + 20)/4 = 15 кН. По методу сечений определяем поперечные силы.

Q

A

= R

A

= 15 кН. Q'

B

= R

A

= 15 кН – слева от точки В. Q''

B

= R

A

– F = 15 – 20 = - 5 кН. Q

C

= - R

C

= - 5 кН. По методу сечений определяем изгибающие моменты

М

А

= 0. М

В

= R

A

·2 = 15·2 = 30 кНм. М

С

= М = 20 кНм.

12


Опасным является сечение в точке В, где изгибающий момент максимальный. Осевой момент сопротивления

W

x

= M

B

/[σ

и

] = 30·103·103/200 = 150000 мм3. Из формулы W

x

= bh2/6 = b(1,6b)2/6 = 0,427b3 находим b = 3√W

x

/0,427 = 3√ 150000/0,427 = 70 мм. h = 1,6b = 1,6·70 = 112 мм.

Задача 5. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Определить номер двутавра, из которого изготовлена балка. [σ

и

] = 160 МПа, F = 20 кН, q = 5 кН/м.

R

A

F M

А

q B A C

2 2

30 кН

20 кН

Q

М

и

- 50 кНм

- 110 кНм

Решение Если при определении поперечных сил и изгибающих моментов по методу сечений рассматривать правую часть балки, то реактивный момент М и реакцию R

A

можно не находить. Определяем поперечные силы:

Q

C

= F = 20 кН, Q

B

= F + q·2 = 20 + 5·2 = 30 кН, Q

A

= F + q·2 = 20 + 5·2 = 30 кН. Определяем изгибающие моменты:

М

С

= 0, М

В

= - F·2 - q·2·1 = -20·2 - 5·2·1 = -50 кНм, М

A

= - F·4 - q·2·3 = -20·4 - 5·2·3 = - 110 кНм. Опасным является сечение балки и точке А, где изгибающий момент наибольший. Осевой момент сопротивления

W

x

= М

А

/[σ

и

] = 110·103·103/160 = 687500 мм3 = 687,5 см3. По ГОСТ 8239 – 72 выбираем двутавр No36 с осевым моментом сопротивления W

x

= 743 см3.

13


= Задача 6. Диаметр оси 60 мм. F

1

20 кН, F

2

= 10 кН, [σ

и

] = 800 МПа. Построить эпюру изгибающих моментов. Проверить ось на прочность.

R

A

F

1

F

2

R

D

A B C D

1м 3м 1м

18 кНм

12 кНм

М

и

Решение Определяем реакции опор. Σ М

А

= 0. - F

1

·1 – F

2

·4 + R

D

·5 = 0. R

D

= (F

1

·1 + F

2

·2)/5 = (20·1 + 10·4)/5 = 12 кН. Σ М

D

= 0. - R

A

·5 + F

1

·4 + F

2

·1 = 0. R

A

= (F

1

·4 + F

2

·1)/5 = (20·4 + 10·1)/5 = 18 кН. Определяем изгибающие моменты.

М

А

= 0. М

В

= R

A

·1 = 18·1 = 18 кНм. М

С

= R

D

·1 = 12·1 = 12 кНм. Опасным является сечение в точке В, где изгибающий момент наибольший. Проверяем прочность оси в этом сечении.

Осевой момент сопротивления

W

x

= 0,1d3 = 0,1·603 = 21600 мм3. Напряжения изгиба

σ

и

= М

маx

/W

x

= 18·103·103/21600 = 833 МПа > [σ

и

] = 800 МПа. Прочность оси не достаточна. Для обеспечения достаточной прочности необходимо взять ось большего диаметра с осевым моментом сопротивления

W

x

= M

max

/[σ

и

] = 18·103·103/800 = 22,5·103 мм3. Диаметр оси

d = 3√ W

x

/0,1 = 3√ 22,5·103/0,1 = 60,58 мм.

Принимаем d = 61 мм.

14


Задача 7. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Определить диаметр оси. F = 20кН, q = 6 кН/м, [σ

и

] = 200 МПа.

R

A

F R

C q A B C

4м 4м 28 кН

4 кН Q

- 16 кН

64 кНм

М

и

Решение Определяем реакции опор. ΣМ

С

= 0. - R

A

·8 + q·4·6 + F·4 = 0. R

A

= (q·4·6 + F·4)/8 = (6·4·6· + 20·4)/8 = 28 кН. ΣF

iy

= 0. R

A

– 4q – F + R

С

= 0. R

C

= - R

A

+ 4q + F = - 28 + 4·6 + 20 = 16 кН.

Находим поперечные силы.

Q

A

= R

A

= 28 кН. Q'

B

= R

A

- q·4 = 28 - 6·4 = 4 кН – слева от точки В. Q''

B

= - R

C

= - 16 кН – справа от точки В.

Находим изгибающие моменты.

М

А

= 0. М

В

= R

C

·4 = 16·4 = 64 кНм. М

С

= 0.

Осевой момент сопротивления

W

x

= M

max

/[σ

и

] = 64·103·103/200 = 320·103 мм3.

Из формулы W

x

= 0,1d3 находим диаметр оси d = 3√ W

x

/0,1 =3√ 320·103/0,1 = 147 мм.

15


Сложное напряжённое состояние

Задача 1. В сечении вала действует крутящий момент М

к

= 8 кНм и изгибающие моменты:

в вертикальной плоскости М

в

= 5 кНм, в горизонтальной плоскости М

г

= 7 кНм. Допускаемое напряжение на изгиб [σ

и

] = 120 МПа. Определить диаметр вала по третьей гипотезе прочности

Решение

Суммарный изгибающий момент

М

и

= √ М

в

2 + М

г

2 = √ 52 + 72 = 8,6 кНм. Эквивалентный момент

М

э

= √ М

и

2 + М

к

2 = √ 8,62 + 82 = 11,75 кНм. Осевой момент сопротивления W = М

э

/ [σ

и

] = 11,75·103·103/120 = 97917 мм3. Диаметр вала

d = 3√ W/0,1 = 3√ 97917/0,1 = 98,85 мм. Принимаем диаметр вала d = 100 мм.

Задача 2. Диаметр вала 80 мм. В опасном сечении вала действует крутящий момент М

к

= 5 кНм и изгибающие моменты: в вертикальной плоскости М

в

= 4 кНм, в горизонтальной плоскости М

г

= 6 кНм. Допускаемое напряжение изгиба [σ

и

] = 180 МПа. Проверить прочность вала.

Решение

Суммарный изгибающий момент

М

и

= √ М

в

2 + М

г

2 = √ 42 + 6 = 7,2 кНм. Эквивалентный момент

М

э

= √ М

и

2 + М

к

2 = √ 7,22 + 52 = 8,8 кНм. Осевой момент сопротивления

W = 0,1d3 = 0,1·803 = 51200 мм3. Эквивалентное напряжение в опасном сечении вала

σ

э

= М

э

/W = 8,8·103·103/51200 = 172 МПа. Эквивалентное напряжение в опасном сечении вала меньше допускаемого, следовательно, прочность вала достаточна.

16


Устойчивость сжатых стержней

Задача 1. Труба с наружным диаметром 32 мм и внутренним 27 мм нагружена осевой силой F = 5 кН. Длина трубы 2 м. Концы трубы закреплены шарнирно. Модуль продольной упругости материала трубы Е = 2·105 МПа. Допускаемый коэффициент запаса устойчивости [s

y

] = 2. Проверить, достаточна ли устойчивость трубы.

F

d

l

d

1

Решение

Отношение внутреннего диаметра трубы к наружному

с = d

1

/d = 27/32 = 0,844.

Минимальный момент инерции сечения трубы

I

min

= 0,05d4(1 – c4) = 0,05·324·(1 – 0,8444) = 26739 мм4.

При шарнирном закреплении концов коэффициент μ = 1. Критическая сила по формуле Эйлера

F

кр

= π2·E·I

min

/ (μl)2 = 3,142·2·105·26739 / 20002 = 13180 Н.

Допускаемая сжимающая сила [F] = F

кр

/[s

y

] = 13182/2 = 6590 H.

Действительная сжимающая сила F = 5 кН меньше допускаемой [F] = 6590H, следовательно, устойчивость трубы достаточна.

17


Задача 2. Стойка из швеллера с жёстко закреплённым одним концом и свободным другим концом нагружена силой F = 24 кН. Высота стойки 4 м. Материал – сталь с модулем продольной упругости Е = 2·105 МПа. Допускаемый коэффициент запаса устойчивости [s

y

] = 4. Подобрать номер швеллера.

Решение

F

l

Критическая сила должна быть не более

F

кр

≤ F·[s

y

] = 24·4 = 96 кН.

При заданном способе крепления стойки коэффициент μ = 2.

Из формулы Эйлера F

кр

= π2·E·I

min

/ (μl)2 находим минимальный осевой момент инерции швеллера

I

min

= F

кр

·(μl)2 / π2·E =

= 96·103·(2·4000)2 / 3,142·2·105 = 3115620 мм4 ≈312 см4.

По ГОСТ 8240 – 72 выбираем швеллер No 30 с минимальным

моментом инерции сечения I

y

= 327 cм4.

18