Методические рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине ЕН.01. Математика для студентов специальности Электрификация и автоматизация сельского хозяйства

Автор: Черных Лариса Сергеевна

Дата публикации: 30.05.2017

Номер материала: 7901

Скачать
Прочие методические материалы
Математика
11 Класс

Министерство образования и науки Краснодарского края

ГБПОУ КК «Колледж Ейский»

Методические рекомендации

по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы

по дисциплине ЕН.01. Математика

для студентов специальности

Электрификация и автоматизация сельского хозяйства

Ейск

Рассмотрено на

заседании ПЦК математических и естественнонаучных дисциплин

Протокол №___

от «___»___________2017г.

Председатель ПЦК__________

Рассмотрено

ОМК ГБПОУ КК

«Колледж Ейский»

_________

Протокол №___

от «___»_______2017г.

Методические рекомендации по дисциплине ЕН.01. Математика содержат подробные инструкции по выполнению заданий для внеаудиторной самостоятельной работы, форму выполнения задания, критерии оценивания работ, подробный перечень литературы для студентов.

Разработчик: преподаватель ГБПОУ КК «Колледж Ейский» Л.С.Черных


ОГЛАВЛЕНИЕ

  1. Пояснительная записка
  2. Основная часть
  1. .Тематическое  планирование внеаудиторных  работ

2.2. Задания к самостоятельной работе студентов

Тема 1 Предел функции

Тема 2 Дифференциальное исчисление

Тема 3 Интегральное исчисление

Тема 4 Матрицы и определители

Тема 5 Решение систем линейных уравнений

Тема 6 Линейное программирование

Тема 7 Элементы дискретной математики

Тема 8 Элементы комплексных чисел

Тема 9 Элементы теории вероятности и математической статистики

  1. Заключение
  2. Список литературы

4

6

7

7

8

16

24

29

33

45

47

50

52

54

  1. Пояснительная записка

Математика в соответствии с ФГОС по специальности Электрификация и автоматизация сельского хозяйства является естественнонаучной дисциплиной.

Целью данных методических рекомендаций является организация преподавателем эффективной внеаудиторной самостоятельной работы студентов по дисциплине Математика как средства, способствующего повышению качества образовательного процесса.

Задачи:

  1. сформировать общие и профессиональные компетенции во внеаудиторной работе через содержание представленных методических рекомендаций;
  2. помочь преподавателю в подборе материала предлагаемого студентам для внеаудиторной работой с целью закрепления и углубления знаний;
  3. рационально организовать внеаудиторную самостоятельную работу студентов через распределение времени, затраченного на ее выполнение, предложенную форму контроля их знаний, критерии оценок.

Внеаудиторная работа является одним из видов учебных занятий студентов, выполняемых под руководством преподавателя, но без его непосредственного участия.

Основные цели внеаудиторной (самостоятельной) работы:

- систематизация и закрепление знаний и практических умений студентов полученных при изучении на уроке;

- углубление и расширение теоретических знаний, формирование умений использовать справочную документацию и дополнительную литературу;

- развитие познавательных способностей и активности студентов, творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

- формирование самостоятельного мышления;

- развитие исследовательских умений.

В начале учебного года (на первом учебном занятии) преподаватель знакомит студентов со структурой построения всего курса дисциплины Математика, в которую должна быть органично вписана самостоятельная работа. Каждый студент  после такого занятия должен понимать, сколько самостоятельных работ ему предстоит выполнить в период изучения дисциплины и, каким образом он будет отчитываться перед преподавателем. Можно составить таблицу, по которой студенту легко будет ориентироваться по темам курса, видам самостоятельных работ, срокам выполнения, критериям оценивания.

Рекомендуется ведение студентом отдельной тетради для выполнения всех предусмотренных рабочей программой самостоятельных работ.

Любая самостоятельная работа дается на определенный срок, с указанием  времени, затрачиваемым на ее выполнение, и определением срока представления выполненного задания. Если работа выполнена не в срок, то она оценивается меньшим количеством баллов. Возможно установление срока выполнения задания в зависимости от индивидуальных особенностей студента.

Критериями оценки результатов самостоятельной работы студентов являются:

  • уровень усвоения студентом учебного материала;
  • умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;
  • сформированность общеучебных умений;
  • обоснованность и четкость изложения материала;
  • уровень оформления работы.

На самостоятельную работу в курсе изучения дисциплины отводится 28 часов. Методические рекомендации помогут студентам целенаправленно изучать материал по теме, определять свой уровень знаний и умений при выполнении самостоятельной работы.

2. Основная часть

2.1. Тематическое планирование внеаудиторных  работ

Тема №№

Вид работы

Методы контроля

кол-во

часов

1. Предел функции

Работа с литературой

Доклад на уроке

2

2.Дифференциальное исчисление

Индивидуальная

домашняя контрольная работа

Проверка работы

4

3. Интегральное исчисление

Индивидуальная

домашняя контрольная работа

Проверка работы

4

4. Матрицы и определители

Индивидуальная

домашняя контрольная работа

Проверка работы

2

5. Решение систем линейных уравнений

Работа с литературой Индивидуальная

домашняя контрольная работа

Проверка работы

4

6. Линейное программирование

Работа с литературой Индивидуальная

домашняя контрольная работа

Проверка работы

4

7. Элементы дискретной математики

Работа с литературой

Выполнение упражнений

Проверка

работы

4

8. Элементы комплексных чисел

Индивидуальная

домашняя контрольная работа

Проверка работы

2

9. Элементы теории вероятности и математической статистики

Работа с литературой

Доклад на уроке

2

ИТОГО

28


2.2 Задания к самостоятельной работе студентов

Тема 1: Теория пределов

Цель: получить представление о свойствах непрерывных функций.  Доклад по теме: Доказательство теоремы о свойствах пределов функций.

Самостоятельная работа: работа с литературой

Форма контроля: Доклад на уроке

Требования к докладу: 

Доклад – публичное сообщение, представляющее собой развернутое изложение на определенную тему. Это работа, требующая навыков работы с литературой. Студент должен не только выбрать тему доклада, исходя из своих интересов, но и суметь подобрать литературу, выбрать из нее наиболее существенное, переложить своими словами и изложить в определенной последовательности. Доклад должен быть с научным обоснованием, доказуем.

Написание доклада является достаточно сложной работой и требует уже сформировавшихся умений и навыков работы с литературой, особой мыслительной деятельности, знаний правил оформления. Доклад требует плана, по которому он выполняется. При оценке доклада учитываются его содержание, форма, а также и культура речи докладчика.

Критерии оценивания:

Оценка «5» ставится при сданной в срок работе, материал в полной мере соответствует заявленной теме, выполнены чертежи к теоремам, докладчик излагает материал самостоятельно;

Оценка «4» ставится при хорошем раскрытии темы доклада, выполненных чертежах к теоремам, обучающийся излагает материал не самостоятельно.

Оценка «3» ставится при раскрытии темы не полностью, докладчик неуверенно излагает свои тезисы, работа может быть сдана не в срок.

Оценка «2» ставится, если тема доклада не раскрыта.

Литература:

1. Григорьев В. П., Дубинский  Ю. А. Элементы высшей математики: Учебник для студентлов учреждений СПО – 6-е  изд., стер. М.: Академия, 2011. – 320с.

2. Пехлецкий И.Д. Математика;Учеб. Для студентов СПО.-М.;Академия,2010.

Тема 2: Дифференциальное исчисление

Цель: закрепить навыки по вычислению производных функций первого и  второго порядков, по исследованию функций с помощью производной.

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка контрольной работы

Виды заданий:

  1. Найти производные функций
  2. Составить уравнение касательной к графику функции в заданной точке
  3. Найти промежутки возрастания и убывания функции
  4. Исследовать функцию и построить график

Пример выполнения работы:

 Обозначения: С- постоянная, х-аргумент, u, v, w – функции от х, имеющие производные.

Основные правила дифференцирования

  1. (u+v-w)=u’+v’-w’
  2. (u∙v)’=u’v+uv’
  3. (cv)’=c∙v’
  4. ()’=

Примеры:

  1. У’=(3x-2x5+e2)’=(3x)’- 2∙(x5)’+(e2)’= 3x ln3-10x4
  2. У’=( 2x•x3)’=(2x)’•(x3)+( 2x)• (x3)’=2x ln2•x3+2x• 3x2
  3. Y’==

Производная сложной функции.

Пусть дана сложная функция у=g(u), где u=f(x).

Если функция u=f(x) дифференцируема в некоторой точке х, а функция  у=g(u) определена на множестве значений функции f(x) и дифференцируема в  точке u=f(x), то сложная функция у=g(f(x)) в данной точке x имеет производную, которая находится по формуле

У’= g’(u)•f’(x).

Пример:

У’=((1+x2)5)’=5•(1+x2)4•2x

Приложение производной к исследованию функций.

Касательная и нормаль к плоской кривой. Скорость и ускорение.

 Касательная и нормаль к плоской кривой.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. k = f ' (х0) = tgα Уравнение касательной к графику функции

у = f(x)в точке М(х0; f(x0)) имеет вид

у = f(x0)+ f '(x0)(х – х0).

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания М(х0; f(x0)), называется нормалью к кривой.

  Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции.

 Возрастание и убывание функции.

Интервалы, на которых функция только возрастает или же только убывает, называются интервалами монотонности функции, а сама функция называется монотонной на этих интервалах.

Максимум.

Функция y=f(x) имеет максимум х=а, если при всех х, достаточно близких к а, выполняется неравенство f(a)>f(x).

Признаки максимума:

  1. f’(a)=0;
  2. f’(x) при переходе аргумента через х=а, меняет знак с «+» на «-».

Минимум.

y=f(x) имеет минимум х=а, если при всех х, достаточно близких к а, выполняется неравенство f(a)<f(x).

Признаки максимума:

  1. f’(a)=0;
  2. f’(x) при переходе аргумента через х=а, меняет знак с «-» на «+».

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а;в]. Тогда она принимает как наибольшее, так и наименьшее значения на этом отрезке.

При решении этой задачи возможны два случая:

1) либо наибольшее (наименьшее) значение функции достигается внутри отрезка и тогда эти значения окажутся в числе экстремумов функции;

2) либо наибольшее (наименьшее) значение функции достигается на концах отрезка [а;в].

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной на отрезке [а;в] функции:

1. Найти все критические точки, принадлежащие промежутку [а;в], и вычислить значения функции в этих точках.

2. Вычислить значения функции на концах отрезка [а;в], т.е. найти f(а) и f(в).

3. Сравнить полученные результаты; наибольшее из найденных значений является наибольшим значением функции на отрезке [а;в]; аналогично, наименьшее из найденных значений есть наименьшее значение функции на этом отрезке.

Например. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

у =х5 – 5х4 +5х3 + 3 на отрезке [- 1;2].

Решение:

1. Находим критические точки, принадлежащие интервалу (- 1; 2) и значения функции в этих точках:

у' =5 х4- 20х3 + 15х2; 5 х4- 20х3 + 15х2 = 0; 5х22 – 4х + 3) = 0;

х1 = 0, х2 = 1, х3 = 3.

Критическая точка х3 = 3 не принадлежит заданному отрезку.

2. Вычисляем значения функции в двух других критических точках:

у(0) = 3, у(1) = 4.

3. Вычислим значения функции на концах заданного отрезка:

у(- 1) = - 8, у(2) = - 5.

4. Сравнивая полученные результаты, делаем вывод, что

Исследование функций и построение их графиков.

Схема исследования функции и построения еѐ графика:

1) найти область определения функции и определить точки разрыва, если они имеются;

2) исследовать функцию на четность и нечетность;

3) исследовать функцию на периодичность;

4) определить точки пересечения с осями координат, если это возможно;

5) найти критические точки функции;

6) определить промежутки монотонности и экстремумы функции;

7) определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой и найти точки перегиба;

8) найти асимптоты графика функции;

9) используя результаты исследования, соединить полученные точки плавной кривой; иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Например. Исследовать функцию у = х3 – 6х2 + 9х - 3 и построить еѐ график.

Решение:

1) функция определена на всей числовой прямой, т.е. D(у) = R;

2) у(-х) = (-х)3- 6(-х)2 + 9(-х) – 3= - х3- 6х2- 9х – 3, функция не является ни четной, ни нечетной;

3) функция не является периодической;

4) найдем точку пересечения графика с осью ОУ: полагая х = 0, получим у = - 3; точки пересечения графика с осью ОХ в данном случае найти затруднительно.

5) найдем производную f '(х)= 3х2- 12х + 9; найдем критические точки

f '(х)=0, 3х2- 12х + 9= 0, получим х = 1 и х = 3 – критические точки.

6) в промежутках (-∞; 1) и (3; +∞) у' >0, функция возрастает; в

промежутке (1; 3) у' <0, функция убывает. При переходе через точку х = 1 производная меняет знак с плюса на минус,

а при переходе через точку х = 3 – с минуса на плюс. Значит

ymax = у(1)= 1, ymin = у(3) = - 3.

7) найдем вторую производную у''= 6х – 12, у''=0, 6х – 12= 0, х = 2; в промежутке (-∞; 2) у'' <0, кривая выпукла вверх,

в промежутке (2; +∞) у'' >0, кривая выпукла вниз.

Получаем точку перегиба (2;-1). 8) график функции асимптот не имеет;

9) используя полученные данные, строим искомый график.

Индивидуальная контрольная работа

1 вариант.

1. Найти производную функции:

  а) f(x)=cos3(x2+8);   б) f(x)=    в) f(x)=sin3(4x2+3x-8);  

2.Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 3x – x3

2 вариант.

1. Найти производную функции:

а) f(x)=3(x5+7x3+1)4;   б) f(x)=; в) f(x)=4ln(x6+5)-5x+2.

  1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 – 12x

 3 вариант.

1. Найти производную функции:

а) f(x)=3(5x2-x+4)6;      б) f(x)=2ln(x6+5); в) f(x)=cos4(4x-x2).

  1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 – 12x

4 вариант.

1. Найти производную функции:

а) f(x)=tg4(x-x2);   б) f(x)=3cos5x+2  в) f(x)=(x2-1)*(x+3)4.

  1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 5x - x3

5 вариант.

1. Найти производную функции:

а) а) f(x)=sin3(x-3);  б)f(x)=(x2-1)*(x+3); в) f(x)=3cos5x+2.

2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 – 3x – 1

6 вариант.

1. Найти производную функции:

а) f(x)=6(x2+4x3+12)4;  б)f(x)=ln(x3-4x); в) f(x)= .  

6. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 2 + x3

7 вариант.

1. Найти производную функции:

а) f(x)=cos2(x2+x-1);   б) f(x)=2sin3x+2;  в)  f(x)=sin3(x-3).

2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 1 + 4x - x3

8 вариант.

1. Найти производную функции:

а) f(x)=(2x6+3x4+1)4;  б) f(x)=  в) б)f(x)=(x2-1)*(x+3)4.

2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 – x +  3

9 вариант.

1. Найти производную функции:

а) f(x)=(x3-6)*(x+4)2 ;     б) f(x)= в) f(x)=sin3(4x2+3x-8).

2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 4x3 – 6x2

10 вариант.

1. Найти производную функции:

а) f(x)=sin(x2+5); б) f(x)= в) f(x)=4ln(x6+5)-5x+2 .

2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 3x2 – x3

Критерии оценивания:

Оценка «5» ставится при сданной в срок работе, все 4 задания выполнены верно, построен график функции верно, работа оформлена подробна и аккуратна;

Оценка «4» ставится при 3 верно выполненных заданиях, построен график функции верно, работа оформлена подробна и аккуратна

Оценка «3» ставится при выполненных верно 2 заданиях, но исследование функции проведено верно, работа может быть сдана не в срок.

Оценка «2» ставится, если домашняя контрольная работа выполнена неверно.

Используемая литература:

1. Башмаков М. И. Математика: учебник для учреждений начального и  среднего проф. образования- М.: Издательский центр «Академия», 2012 г

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М., Высшая школа, 2010.

3. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.,1989.

4. Григорьев В. П., Дубинский  Ю. А. Элементы высшей математики: Учебник для студентлов учреждений СПО – 6-е  изд. , стер. М.: Академия, 2011. – 320с

5. Пехлецкий И.Д. Математика ;Учеб. Для студентов СПО.-М.;Академия,2010.

Тема 3: Интегральное исчисление

Цель: закрепить навыки по вычислению интегралов различными способами.

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

  1. Вычислить неопределенный интеграл
  2. Вычислить определенный интеграл
  3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
  4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси.

Пример выполнения работы:

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл

Пусть у = F(x) имеет производную у' = f (х), тогда ее дифференциал

dy = f (x) dx

Функция F(x) по отношению к ее дифференциалу f(x) dx называется первообразной.

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x) = f (x). Дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их, причем они отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Пусть F(x) - первообразная для дифференциала f (x) dx.

Тогда:

(F(x) + С)' = F'(x) + С' = f (x) + 0 = f (x) , где С - постоянная.

Определение: совокупность всех первообразных функций F(x)+С для дифференциала  f (x) dx называется неопределенным интегралом и обозначается .

= F(x)+С, где - подынтегральное выражение.

С- постоянная интегрирования. Процесс нахождения первообразной называется интегрированием. Формулы интегрирования

 Непосредственное интегрирование.

При непосредственном интегрировании следует пользоваться таблицей интегралов. Интегрируя функции, содержащие переменную в знаменателе дроби или под знаком радикала, нужно вводить степень с отрицательным или дробным показателем, привести подынтегральное выражение к виду какого-либо табличного интеграла.

При интегрировании произведения в ряде случаев полезно предварительно раскрыть скобки.

Интегрирование методом подстановки.

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки (методом замены переменной интегрирования).

Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.

Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:

1) часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;

2) найти дифференциал от обеих частей замены;

3) все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

4) найти полученный табличный интеграл;

5) сделать обратную замену.

2. Определенный интеграл.

Определенный интеграл http://www.vevivi.ru/best/images/servus/80/45/4884580.png от неотрицательной функции http://www.vevivi.ru/best/images/servus/59/45/4884559.png с геометрической точки зрения равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции http://www.vevivi.ru/best/images/servus/59/45/4884559.png, слева и справа – отрезками прямых х=а, х=b, снизу отрезком [a; b] Ох

3. Приложения определенного интеграла

Вычисление площадей

Фигура, ограниченная кривой у = f (x), осью абсцисс и двумя прямыми, перпендикулярными к оси абсцисс, называется криволинейной трапецией. Отрезок [a;b] называется основанием криволинейной трапеции. Различные примеры криволинейных трапеций приведены на рисунках а – г.

Площадь фигуры, ограниченной кривой у = f (x), где f (x) > 0, осью ОХ и двумя прямыми х = а и х = b, выражается определенным интегралом:  

Индивидуальная контрольная работа

  1. Найдите неопределенные интегралы:   

1.                                                      16.

2.                                                                     17.

3.                                                                        18.

4.                                                                  19.

5.                                                                   20.

6.                                                                    21.

7.                                                                   22.

8.                                                                          23.

9.                                             24.

10.                                                     25.

11.                                                                  26.

12.                                                              27.

13.                                         28.

14.                                                    29.

15.                                                                        30.

  1. Найдите определенные интегралы:

  1.                                                    16.
  2.                                                          17.
  3.                                                                  18.
  4.                                                              19.
  5.                                                     20.
  6.                                                           21.
  7.                                                  22.
  8.                                                         23.
  9.                                           24.
  10.                                                                 25.
  11.                                                        26.
  12.                                                           27.
  13.                                                                   28.
  14.                                                      29.
  15.                                                                     30.

3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

1) y = 3x-1, y = 0, x = 2, x = 4

2) x - 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0, y = 0

3) y = , y = 0, x = 0, x = 3

4) y = 9 - , y = 0

5) y = 4x - , y = 0

6) y =  - 2x + 3, y = 0, x = 0, x = 3

7) y = , 5x – y – 6 = 0

8) y = , x =

9) y = , y =  + 3x

10) y = - + 6, y = 2x + 3

4. Сделайте чертеж и вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной данными линиями:

1) = 6x, y = 0, x = 1, x=3

2)

3) y =  - 4, x = 0

4) y = , y = 0, x = 0, x =

5) = 4x, y = x

6) y = 4 - , x – y + 2 = 0

5. Сделайте чертеж и вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ фигуры, ограниченной данными линиями:

1) y = , y = 1, y = 4, x = 0

2) y =   + 1, y = 5

3) = 9x, y = 3x

4) = 2x, 2x + 2y – 3 = 0

Критерии оценивания:

Оценка «5» ставится при сданной в срок работе, все 4 задания выполнены верно, верно построены график функции при нахождении площади фигуры и объема тела, работа оформлена подробно и аккуратно;

Оценка «4» ставится при 3 верно выполненных заданиях, верно построены график функции при нахождении площади фигуры и объема тела, работа оформлена подробно и аккуратно

Оценка «3» ставится при выполненных верно 2 заданиях, но выполнено верно хотя бы одно из заданий по нахождению площади фигуры или объема тела с помощью интеграла, работа может быть сдана не в срок.

Оценка «2» ставится, если домашняя контрольная работа выполнена неверно или выполнено верно 1 задание.

Используемая литература:

1. Башмаков М. И. Математика: учебник для учреждений начального и  среднего проф. образования-М.: Издательский центр «Академия», 2012 г

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М., Высшая школа, 2010.

3. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.,1989.

4. Григорьев В. П., Дубинский  Ю. А. Элементы высшей математики: Учебник для студентлов учреждений СПО – 6-е  изд. , стер. М.: Академия, 2011. – 320с.

5. Пехлецкий И.Д. Математика ;Учеб. Для студентов СПО.-М.;Академия,2010.

Тема 4: Вычисление определителей

Цель: закрепить навыки по вычислению определителей второго, третьего и высших порядков.

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

  1. Вычислить определитель второго порядка
  2. Вычислить определитель третьего порядка
  3. Вычислить определитель высших порядков
  4. Выполнить проверку с помощью программы MS Excel
Пример выполнения работы:

 1. Вычислить определитель второго порядка

Определителем второго порядка называется число, которое поставлено в соответствие таблицы коэффициентов

по следующему правилу: произведение по главной диагонали берется со знаком плюс, по другой диагонали со знаком минус.

 = a1b2  – a2b1              

Пример: вычислить определитель второго порядка

1)

2)

2. Вычислить определитель третьего порядка

Определителем третьего порядка называется число, которое поставлено в соответствие таблицы коэффициентов по следующему правилу:

 

 Это определение определителя наглядно можно представить следующим образом:

                                 

Это правила называют еще «Правило треугольника»

Пример: Вычислить определитель третьего порядка

3. Вычислить определитель высшего  порядка

В общем виде определитель n-го порядка может быть представлен следующем виде:

     

где  aij – элемент определителя, i – номер строки, j – номер столбца.

Возьмем aij в определителе и вычеркнем i строку, j столбец. В результате останется определитель порядка на единицу ниже. Такой определитель называется минором элемента aij. Обозначается  минор – Mij.

Пример: Найти минор элемента а12 определителя

Для этого вычеркнем первую строку, второй столбец.

В результате останется определитель порядка на единицу ниже и минор равен:

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, в которой расположен элемент, четная и с обратным знаком, если нечетная.

                - алгебраическое дополнение    

ТЕОРЕМА:          Определитель n-го порядка равен сумме произведений какой либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

                                                            

Пример: Вычислить определитель четвертого порядка

По теореме определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения. Найдем алгебраические дополнения элементов первой строки и разложим определитель по первой строке:

Варианты заданий:

Вариант

Задание

1

1) а) D = ; б) D = ; в) D =

2

1) а) D = ; б) D = ; в) D =

3

1) а) D = ; б) D = ; в) D =

4

1) а) D = ; б) D = ;в) D =

5

1) а) D = ; б) D = ;в) D =

6

1) а) D = ; б) D = ;в) D =

7

1) а) D = ; б) D = ;   в) D =

8

1) а) D = ; б) D = ; в) D =

9

1) а) D = ; б) D = ;  в) D =

10

1) а) D = ; б) D = ; в) D =

        

Критерии оценивания:

Оценка «5» ставится при сданной в срок работе, все  задания выполнены верно, выполнена проверка с помощью программы Excel, работа оформлена подробно и аккуратно;

Оценка «4» ставится при 1 неверно выполненном задании, или не выполнена проверка в Exel, работа оформлена подробно и аккуратно

Оценка «3» ставится при выполненном верно 1 задании, работа может быть сдана не в срок.

Оценка «2» ставится, если домашняя контрольная работа выполнена неверно.

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М., Высшая школа, 2010.

2. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.,1989.

3. Григорьев В. П., Дубинский  Ю. А. Элементы высшей математики: Учебник для студентлов учреждений СПО – 6-е  изд. , стер. М.: Академия, 2011. – 320с.

4. Пехлецкий И.Д. Математика ;Учеб. Для студентов СПО.-М.;Академия,2010.

Тема 5: Решение систем линейных алгебраических уравнений

Цель: закрепить навыки по решению систем методом Крамера и методом Гаусса.

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

  1. Решить систему методом Крамера
  2. Решить систему методом Гаусса
  3. Выполнить проверку с помощью программы MS Excel
Пример выполнения работы:
  1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера

        Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

             

х1 , х2 , …, хn – неизвестные,

b1,  b2, …., bn  -  столбец свободных членов.

Составим главный определитель системы из коэффициентов при  неизвестных

           

Составим вспомогательные определители системы следующим образом:

    …          

Тогда решением системы является:

,   ,     …,        

Отметим следующее:

  1. Если определитель системы D ≠ 0, то система определена, т.е. имеет единственное решение
  2. Если D = Dx1 = Dx2 = … =Dxn = 0, то система имеет бесконечно много решений, т.е. является неопределенной.
  3. Если D = 0, но хотя бы  один из  Dx1, Dx2, … , Dxn не равен нулю, то система несовместна, т.е. не имеет решений.

Из – за арифметических трудностей формулы Крамера на практике используются для систем не выше третьего, четвертого порядка.

Пример:  Решить по формулам Крамера систему уравнений:

2х + 3у = 1

х – у = 0

Вычислим все определители:

Отсюда  

               

Ответ: ,  

Пример:  Решить по формулам Крамера систему уравнений:

   

Вычислим:

 

Тогда:

Ответ: х1=2/3,    х2=1,     х3=0.

Индивидуальная контрольная работа:

Вариант

Задание

1

а)       б)

2

а)        б)

3

а)      б)

4

а)    б)

5

а)     б)

6

а)       б)

7

а)       б)

8

а)        б)  

9

а)      б)

10

а)  б)

Критерии оценивания:

Оценка «5» ставится при сданной в срок работе, все  задания выполнены верно, системы решены всеми заявленными способами, работа оформлена подробно и аккуратно;

Оценка «4» ставится при  верно выполненных заданиях, но могут системы решены не всеми требуемыми способами, работа оформлена подробно и аккуратно

Оценка «3» ставится при выполненных верно  заданиях, но решение системы представлено 1 способом, работа может быть сдана не в срок.

Оценка «2» ставится, если домашняя контрольная работа выполнена неверно или выполнено верно 1 задание.

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М., Высшая школа, 2010.

2. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.,1989.

3. Григорьев В. П., Дубинский  Ю. А. Элементы высшей математики: Учебник для студентлов учреждений СПО – 6-е  изд. , стер. М.: Академия, 2011. – 320с.-(«Среднее профессиональное образование-Информатика и вычислительная техника»)(ГРИФ)

4. Пехлецкий И.Д. Математика ;Учеб. Для студентов СПО.-М.;Академия,2010.

Тема 6: Линейное программирование

Цель: получить представление по теме «Разные случаи решения задач линейного программирования».  Закрепить навыки решения задач линейного программирования

Самостоятельная работа: Решение индивидуальной работы. Работа с литературой

Форма контроля: Проверка плана- конспекта. Проверка работы.

Виды заданий: 1.  Построить экономико-математическую модель и решить

  1. графическим методом типовую задачу оптимизации.
Пример выполнения работы:

Классификацию решения задач линейного программирования можно представить в виде следующей схемы.

Метод решения

Примечание

Целевая функция

1. Графический метод

Используется при двух переменных (x1, x2)

max, min

2. Симплексный метод

Формы записи: симплексная таблица, строчечная форма, строковая форма. Алгоритм решения: метод искусственного базиса (М-метод, двухфазный метод), правило прямоугольника, правило Креко

max, min

3. Двойственный симплекс-метод

Формы записи: симплексная таблица, строчечная форма, строковая форма. Алгоритм решения: метод искусственного базиса (М-метод, двухфазный метод)

min

4. Двойственная задача

Алгоритм решения: симплекс-метод, теоремы двойственности

max, min

5. Метод Гомори

Алгоритм решения: метод отсечений

max, min

Задача1. Для изготовления трех видов изделийА, В и С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования указаны в табл. 1. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов используемого оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия каждого вида.

Таблица 1

Тип

оборудования

Затраты времени
(
станко-часы
на обработку одного изделия
каждого вида

Общий фонд рабочего времени оборудования (часы)

 

 

А

В

С

Фрезерное

2

4

5

120

Токарное

1

8

6

280

Сварочное

7

4

5

240

Шлифовальное

4

6

7

360

Прибыль (руб.)

10

14

12

 

Требуется определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи.

Решение. Предположим, что будет изготовлено x1 единиц изделий вида Аhttp://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10172.gifединиц – вида В и http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10173.gifединиц – вида С. Тогда для производства такого количества изделий потребуется затратить http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10174.gifстанко-часов фрезерного оборудования.

Так как общий фонд рабочего времени станков данного типа не может превышать 120, то должно выполняться неравенство

1+4х2+5х3<=120

Аналогичные рассуждения относительно возможного использования токарного, сварочного и шлифовального оборудования приведут к следующим неравенствам:

http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10176.gif

При этом так как количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, то

http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10177.gif (1)

Далее, если будет изготовлено x1 единиц изделий вида Аhttp://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10172.gifединиц изделий вида В и http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10173.gifединиц изделий вида С, то прибыль от их реализации составит http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10178.gif

Таким образом, приходим к следующей математической задаче: дана система

http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10179.gif(2)

четырех линейных неравенств с тремя неизвестными http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10180.gifи линейная функция относительно этих же переменных

http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10181.gif. (3)

Требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств (2) найти такое, при котором функция (3) принимает максимальное значение. Как это сделать, будет показано в дальнейшем.

Линейная функция (3), максимум которой требуется определить, вместе с системой неравенств (2) и условием неотрицательности переменных (1) образуют математическую модель исходной задачи.

Так как функция (3) линейная, а система (2) содержит только линейные неравенства, то задача (1) - (3) является задачей линейного программирования.

Задача 2.

Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана, расфасованные в бутылки.На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 часов. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 часов. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции не имеется никаких ограничений.

Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи.

Решение. Предположим, что молочный завод будет ежедневно производить x1 тонн молока, http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10172.gifтонн кефира и http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10173.gifтонн сметаны. Тогда ему для изготовления этой продукции необходимо .

Так как завод может использовать ежедневно не более 136000 кг молока, то должно выполняться неравенство

http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10183.gif

Так как ежедневно должно вырабатываться не менее 100 т молока, то http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10185.gif. Далее, по своему экономическому смыслу переменные http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10172.gifи http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10173.gifмогут принимать только лишь неотрицательные значения: http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10186.gifОбщая прибыль от реализации x1 тонн молока, http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10172.gifтонн кефира и http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10173.gifтонн сметаны равна http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10187.gifруб. Таким образом, приходим к следующей математической задаче. Дана система

http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10188.gif(4)

четырех линейных неравенств с тремя неизвестными x1http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10172.gifhttp://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10173.gifи линейная функция относительно этих же переменных

http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10189.gif(5)

требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств (4) найти такое, при котором функция (5) принимает максимальное значение. Так как система (4) представляет собой совокупность линейных неравенств и функция (5) линейная, то исходная задача является задачей линейного программирования.

Задача 3.

На швейной фабрике ткань может быть раскроена несколькими способами для изготовления нужных деталей швейных изделий. Пусть при j-м варианте раскроя http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10190.gif100 м2 ткани изготовляется http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10191.gifдеталей i-го вида http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10192.gif, а величина отходов при данном варианте раскроя равна http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10193.gifм2. Зная, что деталей i-го вида следует изготовлять http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10194.gifштук, требуется раскроить ткань так, чтобы было получено необходимое количество деталей каждого вида при минимальных общих отходах. Составить математическую модель задачи.

Решение. Предположим, что по j-му варианту раскраивается http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10195.gifсотен м2 ткани. Поскольку при раскрое 100 м2 ткани по j-му варианту получается http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10191.gifдеталей i-го вида, по всем вариантам раскроя из используемых тканей будет получено

http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10196.gif

деталей i-го вида. Так как должно быть изготовлено http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10197.gifдеталей данного вида, то

http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10198.gif

Общая величина отходов по всем вариантам раскроя ткани составит

F=с1х12х2+…+сnxn

Таким образом, приходим к следующей математической задаче: найти минимум функции

http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10200.gif(6)

при условии, что ее переменные удовлетворяют системе уравнений

http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10201.gif(7)

и условию неотрицательности http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog%202.files/Image10202.gif

Сформулированная задача является задачей линейного программирования, так как функция (6) линейная, а система (7) содержит только лишь линейные уравнения.

Индивидуальная контрольная работа

Задание: Построить экономико-математическую модель и решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

Вариант 1

Совхозу требуется не более 10 трехтонных автомашин и не более 8 пятитонных.

Отпускная цена автомашины первой марки 2 000 ден. ед., второй марки 4 000 ден.ед. Совхоз может выделить для приобретения машин 40 000 ден. ед. Сколько следует приобрести автомашин каждой марки в отдельности, чтобы их общая (суммарная) грузоподъемность была максимальной.

Построить экономико-математическую модель задачи, получить решение  графическим методом.

Вариант 2

Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Вариант 3

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный — 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере, 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный — 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?4

Вариант 4

На имеющихся у фермера 400 га земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требуют на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои — 100 ден.ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей, — 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои — 6 ден. ед. Однако согласно этому договору фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.

Фермеру хотелось бы знать, сколько гектаров нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Вариант 5

Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта — А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000 ден. ед. для краски Е и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?5

Вариант 6

Финансовый консультант фирмы «ABC» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

Анализируются акции «Дикси - Е» и «Дикси - В». Цецы на акции: «Дикси - Е» — 5 долл. за акцию; «Дикси - В» — 3 долл. за акцию. Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук. По оценкам «ABC», прибыль от инвестиций в эти акции в следующем году составит: «Дикси - Е» — 1,1 долл.; «Дикси -В» — 0,9 долл.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Вариант 7

Завод — производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей — Х и Y. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали типа X требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа Y—2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа X и 1750 деталей типа У в неделю.

Каждая деталь типа Х требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10 000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа X своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа Х составляет 30 ден. ед,, а от производства одной детали типа Y — 40 ден. ед.?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Вариант 8

Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S1, S2 и S3. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ, приведены в таблице

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.

Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом.

Вариант 9

При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице.

Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида — 3 ден. ед.

Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Вариант 10

Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка —

«Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» — 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,10 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,30 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной прибыли?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом.

Задание 2: Найти максимум и минимум функции F(x) при заданных ограничениях графическим методом

  1. F(x) = 10x1 + 5x2                                                            6.   F(x) = 3x1 - 2x2

2x1 – 3x2 ≤ 6                                                  6x1 - 4x2 ≥ -12

x1 + 2x2 ≥ 4                                                    -4x1 + 8x2 ≤ 20

4x1 + x2 ≥ 1                                                    7x1 + 5x2 ≤ 35

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0                                                   x1 + x2 ≥ 3                                              

  1. F(x) = 3x1 - 5x2                                                                            x1 ≥ 0, x2 ≥ 0                                              

x1 + 5x2 ≥ 5                                             7.   F(x) = 3x1 + 3x2                                                            

3x1 – x2 ≤ 3                                                    x1 - 2x2 ≤ 2

2x1  - 3x2 ≥ -6                                                -2x1 + x2 ≤ 6        

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0                                                  2x1 + x2 ≥ 6                                              

  1. F(x) = 4x1 - 3x2                                                                         x1 + 2x2 ≥ 6                                              

      x1 + 2x2 ≥ 2                                                   x1 ≥ 0, x2 ≥ 0                                              

2x1 – x2 ≤ 10                                            8.  F(x) = 2x1 - x2 

 x1 – x2 ≤ 1                                                    2x1 + x2 ≤ 6        

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0                                                 3x1 + 2x2 ≤ 26                                              

  1. F(x) = 2x1 + 4x2                                                                          x1 + 2x2 ≤ 6                                              

2x1 – 3x2 ≤ 12                                                x1 + 2x2 ≥ 2                                              

-3x1 – 2x2 ≤ 3                                                 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0                                              

 x1 + 3x2 ≥ 6                                             9.  F(x) = 4x1 - 3x2 

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0                                                 -x1 + 2x2 ≤ 14        

  1.  F(x) = 5x1 + 10x2                                                                      2x1 + x2 ≤ 17        

  2x1 + x2 ≥ 6                                                     3x1 - x2 ≤ 8        

  x1 + 2x2 ≥ 6                                                      x1 + x2 ≥ 4        

  x1 ≥ 1,2x2 ≥ 3                                                 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0                                              

                    x1 ≥ 0, x2 ≥ 0                                          

                                                                 10.  F(x) = 2x1 + x2 

                                                                          x1 + x2 ≥ 3  

                                                                          2x1 + 3x2 ≤ 15

                                                                          2x1 – 2,5 x2 ≤ 10                                                          

                                                                          0 ≤ x2 ≤ 4

Критерии оценивания:

Оценка «5» ставится при сданной в срок работе, все  задания выполнены верно, графики функций построены верно, четко; работа оформлена подробно и аккуратно;

Оценка «4» ставится при верно выполненных заданиях (правильно составлена экономико-математическая модель), верно построены график функции, но могут быть недочеты в решении задачи, работа оформлена подробно и аккуратно

Оценка «3» ставится при выполненных верно 2 заданиях, допущены ошибки в построении графиков функций, работа может быть сдана не в срок.

Оценка «2» ставится, если домашняя контрольная работа выполнена неверно или выполнено верно 1 задание.

Литература:

  1. Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике: Учеб. Пособие для вузов/Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; Под ред. Проф. Н. Ш. Кремера.- М.: ЮНИТИ, 2008
  2. Григорьев В. П., Дубинский  Ю. А. Элементы высшей математики: Учебник для студентлов учреждений СПО – 6-е  изд. , стер. М.: Академия, 2011. – 320с.-(«Среднее профессиональное образование-Информатика и вычислительная техника»)(ГРИФ)
  3. Пехлецкий И.Д. Математика ;Учеб. Для студентов СПО.-М.;Академия,2010.
Тема 7: Элементы дискретной математики

Цель: закрепить навыки по выполнению действий над множествами.

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа. Работа с литературой.

Форма контроля: проверка индивидуальной домашней работы. Проверка конспекта «Построение совершенной нормальной дизъюнктивной и конъюнктивной формы

Виды заданий:

  1. Найти разность множеств
  2. Найти пересечение множеств
  3. найти объединение множеств
Варианты заданий:

Задание

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

        

Критерии оценивания:

Оценка «5» ставится при сданной в срок работе, все  задания выполнены верно, работа оформлена подробно и аккуратно;

Оценка «4» ставится при 2 верно выполненных заданиях, работа оформлена подробно и аккуратно

Оценка «3» ставится при выполненном верно 1 задании, работа может быть сдана не в срок.

Оценка «2» ставится, если домашняя контрольная работа выполнена неверно.

Литература:
  1. Белоусов А. И, Ткачев С. Б. Дискретная математика: Уч. Для Вузов/ Под ред. В. С. Зарубина, А.П. Крищенко – 3-е изд., стереотип .-М.: Издательство МГТУ им Н. Э. Баумана, 2006
  2. Григорьев В. П., Дубинский  Ю. А. Элементы высшей математики: Учебник для студентлов учреждений СПО – 6-е  изд. , стер. М.: Академия, 2011. – 320с.-(«Среднее профессиональное образование-Информатика и вычислительная техника»)(ГРИФ)
  3. Пехлецкий И.Д. Математика ;Учеб. Для студентов СПО.-М.;Академия,2010.

Тема 8: Представление комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

Цель: научиться переводить комплексные числа из алгебраической в тригонометрическую и показательную формы.

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа. Работа с литературой.

Форма контроля: проверка индивидуальной домашней работы.

Виды заданий:

  1. Представить числа в тригонометрической форме.
  2. Представить числа в показательной форме.

Теоретический материал. Пример выполнения работы

Число вида z = x + i y, где х и у – любые действительные числа,

а i – мнимая единица, определяемая равенством 􀝅􀬶 = - 1 , называется комплексным числом.

Числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются: х = Re z, y = Im z.