Применение теоремы Пифагора

Автор: Архипова Ольга Борисовна

Дата публикации: 17.03.2016

Номер материала: 916

Конспекты
Геометрия
8 Класс

Тема урока: «Применение теоремы Пифагора»

Цели урока:

  1. Дидактические – показать примеры применения теоремы Пифагора в различных областях, закрепить навыки применения теоремы Пифагора при решении геометрических задач, вывести формулы выражающие зависимость между стороной и диагональю квадрата, стороной и высотой правильного треугольника, формулу для нахождения площади правильного треугольника.
  2. Развивающие – развитие логического и абстрактного мышления, формирование учебно-познавательных действий по работе с дополнительными источниками, развитие умений осуществлять перенос знаний и умений в новую ситуацию.
  3. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к геометрии путем осуществления межпредметной связи геометрии с алгеброй, астрономией, историей, литературой и др., воспитание таких качеств, как аккуратность, умение работать самостоятельно, воспринимать чужое мнение, воспитание чувства дружбы и взаимопомощи.

Тип урока: комбинированный урок

Место урока в теме.

Урок дается в рамках темы «Площадь» . На предыдущих уроках были изучены понятия: площадь многоугольника, египетский треугольник, пифагоров треугольник. Доказаны теоремы: свойства площадей многоугольника, площадь квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, прямоугольного треугольника, теоремы об отношении площадей треугольников , имеющих равные высоты или равные углы, площадь трапеции, теорема Пифагора и обратная ей.

Данный урок одиннадцатый в теме «Площадь». Урок комбинированный.

Планирование темы.

Глава 4

Площадь

14 ч.

1

Площадь многоугольника

2 ч.

2

Площади параллелограмма, треугольника и трапеции

6 ч.

3

Теорема Пифагора

3 ч.

Решение задач

2 ч.

Контрольная работа №2

1 ч.

Оборудование урока.

Плакат, карточки с домашней работой, «Пифагорова головоломка», компьютерная презентация.

     Структура урока.

  1. Организационный момент.
  2. Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности.
  3. Актуализация знаний.
  4. Сообщения учащихся «Применение теоремы Пифагора».
  5. Решение задач с применением теоремы Пифагора.
  6. Проверка знаний, умений и навыков (обучающая самостоятельная работа).
  7. Подведение итогов урока.
  8. Постановка домашнего задания.

Уровень развития и обученности учащихся 8 «Б» класса.

По уровню развития класс делится на 4 группы.

Первая группа характеризуется высоким уровнем развития. Учащиеся имеют глубокие и прочные знания основных фактов математики за пройденный курс обучения.

Быстро включаются в работу. Умеют сравнивать, анализировать, делать выводы, приводить собственные примеры. Знают основные методы, правила, алгоритмы решения задач, успешно применяют эти знания на практике как в сходных, так и в новых ситуациях. Используют рациональные способы и приемы решения задач. Быстро и прочно усваивают новый материал. Хорошо развита устная и письменная речь. Высокий уровень обучаемости. (Кретова Е., Тихобаева О., Архипова К.)

Вторая группа характеризуется средним уровнем развития. Эти учащиеся имеют знания основных фактов, входящих в содержание обучения математики, однако не всегда могут аргументировать, доказывать, обобщать, приводить собственные примеры. Знают основные методы решения задач, умеют решать задачи пройденного курса, но затрудняются при решении задач, связанных с осуществлением творческой поисковой деятельности в новой ситуации и справляются с ними только при помощи учителя, не всегда рационально решают.(Денисова Е., Мартьянов М., Тараканов Ю., Мольков В., Баторшин А.)

Третья группа обладает минимумом знаний, умений и навыков, достаточных для их применения по образцу и в сходной ситуации. Умеют отвечать на вопросы, не требующие особых рассуждений и доказательств. Могут воспроизвести текст учебника., решать стандартные задачи. Не обладают навыками рационального решения задач. Обладают средним уровнем обученности. (Сонин А., Комиссаров А., Баканов Е., Лапшина Ю., Шаталов А., Трифонов П., Шуплецов Р., Минеев А., Баранов Д., Козлов В.)

Четвертая группа характеризуется низким уровнем развития. Учащиеся с трудом усваивают факты, понятия, правила и способы решения задач. Не могут воспроизвести определения, примеры, приведенные учителем, или текст учебника, не всегда понимают смысл математических предложений, условие задачи. Не умеют применять известные правила без помощи учителя при решении задач по образцу или в сходной ситуации. Низкий уровень обучаемости. (Балыкина Н., Краснова Н., Горшков М., Хоштария, Мельников Д.)

Ход урока

  1. Организационный момент.

- Здравствуйте ребята, садитесь.

  1. Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности.

-Сегодня на уроке мы узнаем много интересного про теорему Пифагора, точнее рассмотрим примеры практического приложения этой теоремы. Не будем пытаться привести все примеры ее использования, хотя это вряд ли было бы возможно. Область применении теоремы Пифагора достаточно обширна, мы с вами остановимся на применении теоремы в архитектуре и строительстве, астрономии, мобильной связи, литературе и при решении геометрических задач.

  1. Актуализация знаний.

Устная работа

  • Найдите сторону треугольника АВС
  • Найдите сторону треугольника MKN
  • Определите являются ли треугольники  ORP и  DEF прямоугольными?

  1. Сообщения учащихся «Применение теоремы Пифагора».

  1. Решение задач с применением теоремы Пифагора.

 - Мы выслушали выступления учащихся с примерами практического применения теоремы Пифагора. А теперь определим возможности которые дает эта теорема для вычисления длин отрезков и площадей некоторых фигур на плоскости

 - Откройте тетради, запишите число, классная работа, тему урока      «Применение теоремы Пифагора»

 - Я предлагаю вам решить следующие задачи

№1 Найдите диагональ квадрата со стороной а.

(ученик решает задачу у доски)

 - Пусть диагональ квадрата равна d. Запишите формулы выражающие зависимость между стороной а и диагональю квадрата d.

(Ученики записывают формулы в тетради, один из учеников на доске)

№2 Найдите высоту и площадь равностороннего треугольника сторона которого равна а.

(ученик решает задачу у доски)

 - Пусть высота равностороннего треугольника равна h. Запишите формулы выражающие зависимость между стороной а и высотой h равностороннего треугольника и формулу нахождения его площади.

(Ученики записывают формулы в тетради, один из учеников на доске)

  1. Проверка знаний, умений и навыков (обучающая самостоятельная работа).

Вариант 1

1.Площадь квадрата равна 36 дм2.Найдите сторону и диагональ квадрата.

2. Высота правильного треугольника равна 6см. Найдите сторону и площадь правильного треугольника.

Вариант 2

1.Сторона квадрата равна 2 см. Найдите диагональ и площадь квадрата.

2.Сторона правильного треугольника равна 4 см. Найдите высоту и площадь правильного треугольника.

3.Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

Мачта

  1. Подведение итогов урока.

 - Сегодня на уроке мы увидели, что область применения теоремы Пифагора достаточна широка. Скажите пожалуйста, с какими примерами применения теоремы вы сегодня познакомились?

(учащиеся отвечают)

 - Хорошо. Но это далеко не все примеры применения теоремы Пифагора.

  1. Постановка домашнего задания.

 - Есть даже головоломка, которая носит имя Пифагора, она так и называется « Пифагорова головоломка»

 - Дома при выполнении домашнего задания я предлагаю вам поломать немного голову. Из семи частей квадрата (которые находятся в конверте) нужно сложить квадрат, прямоугольник, равнобедренный треугольник, трапецию.

 - откройте дневники, запишите домашнее задание п.54,55, задание на карточке.

Вариант 1

1.Площадь квадрата равна 16 дм2.Найдите сторону и диагональ квадрата.

2. Высота правильного треугольника равна 4см. Найдите сторону и площадь правильного треугольника.

Вариант 2

1.Сторона квадрата равна 3см. Найдите диагональ и площадь квадрата.

2.Сторона правильного треугольника равна 2 см. Найдите высоту и площадь правильного треугольника.

Вариант 3

1.Площадь квадрата равна 64 дм2.Найдите сторону и диагональ квадрата.

2. Высота правильного треугольника равна 2см. Найдите сторону и площадь правильного треугольника.

Вариант 4

1.Сторона квадрата равна 4 см. Найдите диагональ и площадь квадрата.

2.Сторона правильного треугольника равна 6 см. Найдите высоту и площадь правильного треугольника.

Вариант 5

1.Площадь квадрата равна 4 дм2.Найдите сторону и диагональ квадрата.

2. Высота правильного треугольника равна 8см. Найдите сторону и площадь правильного треугольника.

Вариант 6

1.Сторона квадрата равна 5 см. Найдите диагональ и площадь квадрата.

2.Сторона правильного треугольника равна 8 см. Найдите высоту и площадь правильного треугольника.

Вариант 7

1.Площадь квадрата равна 100 дм2.Найдите сторону и диагональ квадрата.

2. Высота правильного треугольника равна 12см. Найдите сторону и площадь правильного треугольника.

Вариант 8

1.Сторона квадрата равна 6 см. Найдите диагональ и площадь квадрата.

2.Сторона правильного треугольника равна 10 см. Найдите высоту и площадь правильного треугольника.

ПИФАГОР САМОССКИЙ

(ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при сёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

  • теорема о сумме внутренних углов треугольника;
  • построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
  • геометрические способы решения квадратных уравнений;
  • деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
  • доказательство того, что не является рациональным числом;
  • создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

ЛЕГЕНДЫ,
СВЯЗАННЫЕ С ИМЕНЕМ ПИФАГОРА

По одной из легенд отцом Пифагора был сириец Мнесарх. Однажды по торговым делам он прибыл из своего родного Тира на остров Самос. Год был неурожайным, население голодало, и Мнесарх устроил бесплатную раздачу хлеба народу. В благодарность его удостоили самосского гражданства.

По словам историка Апулея "Мнесарх славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы, но стяжал скорее славу, чем богатство". Сохранилось предание, согласно которому Мнесарх вместе со своим учеником вырезал перстень дивной красоты. Этот перстень перешёл к правителю острова Самос Поликрату и ценился им превыше всего на свете.

Однажды египетский фараон Амасис, состоящий с самосским тираном в дружеских отношениях, встревожился его великим преуспеванием и написал Поликрату письмо, в котором говорил так: "приятно узнать, что друг мой счастлив. Но всё те твои успехи не радуют меня, так я знаю, сколь ревниво божество к человеческому счастью. Поэтому я желал бы, чтобы и у меня самого, и моих друзей одно удавалось, а другое – нет, чтобы лучше на своём веку мне непременно сопутствовали успехи и неудачи, чем быть счастливому всегда. Ведь мне не приходилось слышать ещё ни об одном человеке, кому бы всё удавалось, а в конце концов он не кончил плохо. Поэтому послушайся моего совета теперь и ради своего счастья поступи так: обдумай, что тебе дороже всего на свете и потеря чего может больше всего огорчить тебя. Эту вещь ты закинь так, чтобы она не попадалась никому в руки. И если и тогда успехи у тебя не будут сменяться неудачами, то и впредь применяй то же средство по моему совету". Поликрат нашёл совет Амасиса мудрым. "Посадив людей на корабль, он сам поднялся на борт и приказал затем выйти в море. Когда корабль отошёл далеко от острова, Поликрат снял перстень и на глазах у всех своих спутников бросил в море. После этого, опечаленный потерей, он вернулся во дворец.

А спустя пять или шесть дней какой-то рыбак поймал большую красивую рыбу и решил, что это достойный подарок Поликрату. Он принёс рыбу во дворец, а слуги, выпотрошив её, нашли в брюхе тот Поликратов перстень. Поликрат понял тогда, что это божественное знамение, и написал Амасису обо всём.

Амасис же, прочтя послание Поликрата, убедился, что ни один человек не может уберечь другого от предречённой ему участи и что Поликрат не кончит добром, так как он преуспевает во всём и даже находит то, что забросил".

Пророчество Амасиса сбылось. Опасаясь владычества Поликрата на море, персы хитростью выманили Поликрата из Самоса, и зверски убили его.

Легенда о Поликратовом перстне, в котором нашла отражение вечная тема непостоянства земного счастья, стала популярным литературным сюжетом. Вспомним "Поликратов перстень" Шиллера:

На кровле он стоял высоко
И на Самос богатый око
С весельем гордым преклонял.
"Сколь щедро взыскан я богами!
Сколь счастлив я между царями!"
Царю Египта он сказал.

Имя матери Пифагора не сохранилось. Некоторые называли её Пифаидой, дочерью рода Анкея – основателя Самоса. Другие утверждали, будто бы сам Мнесарх назвал жену Пифаидой, а сына – Пифагором в честь дельфийской прорицательницы Пифии. Сделал же так Мнесарх после того, как получил от Дельфийского оракула весть о том, что жена подарит ему необыкновенного сына. Наконец, многие, имея на то основания, считали, что Пифагор – это не имя, а прозвище. Поскольку мудрый учитель высказывал истину столь же постоянно и авторитетно, как и дельфийская Пифия, он был прозван Пифагором.

Слово Пифагор можно перевести как вещающий (прорицающий) как Пифия. Версия о том, что Пифагор это имя не собственное, а прозвище, представляется наиболее правдоподобной. Ведь и знаменитый философ Аристокл известен нам не по своему настоящему имени, а по прозвищу, которое он получил за свою мускулатуру гимнаста, – широкий, широкоплечий, по-гречески Платон.

ПИФАГОРОВА ГОЛОВОЛОМКА

Из семи частей квадрата составить снова квадрат, прямоугольник, равнобедренный треугольник, трапецию

тПифагорова головоломка