Конспект урока "Решение показательных уравнений"

Автор: Рамзова Надежда Анатольевна

Дата публикации: 17.03.2016

Номер материала: 928

Конспекты
Алгебра
10 Класс

Схема конспекта урока.

Преподаватель: Рамзова Надежда Анатольевна  

Предмет: математика

Возраст учащихся: 1 курс 

Тема урока: «Решение простейших показательных уравнений»                    

 Цель урока:

- cформировать представления о простейших показательных уравнениях и способах их решения, умения и навыки применять полученные знания в процессе решения  задач;

-  развивать логическое мышление, память, наблюдательность и математическую речь;

- содействовать воспитанию интереса к математике, активности, толерантности и коммуникативных навыков.

Задачи урока:

- обучающие: выяснить, какими знаниями владеют учащиеся, научить отбирать необходимую для усвоения знаний информацию, анализировать, обрабатывать, запоминать и воспроизводить её;

- развивающие: развивать умения анализировать, формулировать свою точку зрения по данной теме, совершенствовать навыки общения, необходимые для работы;

- воспитательные: совершенствовать речевую культуру, стимулировать поисковую деятельность, формировать умение работать в группе.

Этапы работы

Содержание этапа

1.

Организационный момент, включающий:

  • постановку цели, которая должна быть достигнута учащимися (воспитанниками) на данном этапе урока (занятия);
  • определение цели, которую педагог  хочет достичь на данном  этапе урока (занятия);
  • описание методов организации работы учащихся   на начальном этапе урока, настроя учащихся   на учебную деятельность , предмет и тему урока  с учетом реальных особенностей класса, с которым работает педагог.

  1.   Организационный момент.

Учитель: Здравствуйте, ребята. Садитесь. Сосредоточьтесь и настройтесь на серьезную работу.

Сегодня вам предстоит познакомиться с новым видом уравнений, который вы еще не знаете. Вы  узнаете, какие они бывают и научитесь решать их. Будьте внимательны, так как в конце урока вам предстоит решить самостоятельную работу по группам. Я предложу вам более сложные уравнения, которые решаются теми же способами.

2.

Опрос учащихся (воспитанников) по заданному на дом материалу (или актуализация знаний для изучения нового учебного материала), включающий:

  • определение цели, которую педагог ставит перед учащимися на данном  этапе урока (какой результат должен быть достигнут учащимися);
  • определение цели, которую педагог хочет достичь на данном  этапе урока;
  • описание методов, способствующих решению поставленной цели;
  • описание критериев достижения цели данного этапа урока;
  • определение возможных действий педагога в случае, если ему или учащимся не удается достичь поставленной цели;
  • описание методов организации совместной деятельности учащихся с учетом особенностей класса, с которым работает педагог;
  • описание методов мотивирования учебной активности учащихся в ходе опроса;
  • описание методов и критериев оценивания ответов учащихся в ходе опроса.

  1. Проверка ранее изученного материала.

Цель: вспомнить свойства и графики показательной  функции и преобразование графиков.

Учитель: Начнем наш урок с небольшого математического диктанта.

На слайде:

   Даны показательные функции. Постройте схематично их графики и определите для каждой из функций:

А) какая из них возрастающая, какая убывающая;

Б) для каждой функции запишите множество значений.

1 вариант                                           2 вариант

y = 4x;                                                  y =  3x;   

                                           

y = 5x;                                                  y = 6x;     

y = 3 – (0,1)x                                        y = 1 – (0,2)x.

Учитель: Теперь меняемся вариантами с соседом и проверяем правильность выполнения.

На слайде: ответы

1 вариант                                  2 вариант

Возрастает; (0; ∞)                    Возрастает;  (0; ∞)  

Убывает;     (0; ∞)                    Убывает;      (0; ∞)                          

Убывает;     (0; ∞)                    Убывает;       (0; ∞)

Возрастает;  (∞; 3)                     Возрастает;  (0; 1)  

                     

3.

Изучение нового учебного материала. Данный этап предполагает:

  • постановку конкретной учебной цели перед учащимися (какой результат должен быть достигнут учащимися на данном этапе урока);
  • определение цели, которую ставит перед собой педагог на данном этапе урока;  
  • изложение основных положений нового учебного материала, который должен быть освоен учащимися;
  • описание форм и методов изложения нового учебного материала;
  • описание основных форм и методов организации индивидуальной и групповой деятельности учащихся с учетом особенностей класса, в котором работает педагог;
  • описание критериев определения уровня внимания и интереса учащихся к излагаемому педагогом учебному материалу;
  • описание методов мотивирования (стимулирования) учебной активности учащихся в ходе освоения нового учебного материала.

        3) Объяснение нового материала.

Цель: познакомиться с показательными уравнениями, выяснить, случаи существования корней показательных уравнений и рассмотреть разные способы решения показательных уравнений.

 Учитель:  Я хочу продолжить урок словами великого ученого А. Эйнштейна: На слайде «Уравнения будут существовать вечно». Как вы думаете, почему? Учитель: Что называется уравнением? – Уравнением называется равенство, содержащее переменную.

Учитель:  Что значит решить уравнение? – Решить уравнение, значит, найти его корни или показать, что корней нет.

Учитель:  Какие уравнения вы умеете решать? – Линейные, квадратные, тригонометрические, дробно – рациональные.

Учитель:  Сегодня мы познакомимся с новым видом уравнений и способами их решения. А какие  уравнения, вы скажите сами. Посмотрите на доску и разбейте уравнения, записанные на ней, на две группы. По какому признаку вы это сделали?

На слайде:

1)   2x2 – 4x + 5 = 0;          

2)   5x+1 = 25;  

3)   6x – 2(x+1) = 7;  

4)   3x · 2x =36;                            

5)   2sin x + 1 = 0;                

6)   cos x = 1;          

7)   x2 – 4 = 0;  

8)   3 /x = 2;                

9)   3x+1 – 2 · 3 x-2 = 25;

10)  3x = 7x;                              

11) 9x – 4 · 3x – 45 = 0.

На слайде:

   2x2 – 4x + 5 = 0;                             5x+1 = 25;      

   6x – 2(x+1) = 7;                              3x · 2x =36;                            

   2sin x + 1 = 0;                                 3x+1 – 2 · 3 x-2 = 25;

   cos x = 1;                                         3x = 7x;  

   x2 – 4 = 0;                                        9x – 4 · 3x – 45 = 0.

   3 /x = 2.        

                                 

Учитель:  Что общего в уравнениях второй колонки? –  Переменная стоит в показателе степени.

Учитель:  Как, по вашему мнению, называются такие уравнения? – Показательными.

На слайде:  Уравнение вида аx = b, где а > 0   и а 1,  называется показательным уравнением.

Учитель:  Вы умеете их решать?  Нет.

Учитель:  Так какова же тема нашего урока? Обучающиеся формулируют тему урока сами: Научиться решать показательные уравнения.

Учитель:    Итак, перед нами стоит цель  научиться решать показательные  уравнения. Путь к ней будет тернистым. Я приготовила много испытаний, ловушек, каверзных вопросов. Ваша задача преодолеть их, получить хорошие оценки и заветные накопительные баллы к зачету. За работу!

Учитель:  Как вы думаете, всегда ли показательное уравнение имеет решение?  Нет/Да

Учитель:  Отчего это зависит?  От числа b.

Учитель:  Правильно, количество корней показательного уравнения зависит от знака числа b.  

 На слайде:  Если b< 0 или b = 0, то показательное уравнение  ax =b не имеет корней, если b > 0, то по теореме о корне показательное уравнение ax =b  имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, надо b представить в виде b = aс  и решить уравнение

  ax = aс.

Учитель:   Разберем решение наших показательных уравнений.

На слайде:   Пример 1. Решить уравнение

5x+1 = 25;      

5x+1 = 52;  

 x + 1 = 2;  

             x = 1.

Ответ: x = 1.

 На слайде:   Пример 2. Решить уравнение  

3x · 2x =36;                            

(3 · 2)x = 62;      

6x = 62;

x = 2.                    

Ответ:  x = 2.                  

  На слайде:  Пример 3. Решить уравнение  

 3x+1 – 2 · 3 x-2 = 25.     

   Вынося в левой части  за скобки общий множитель

3x-2, получим 3x-2(32 – 2) =25;

3x-2· 25 = 25;

3x-2= 1;

x – 2 = 0;

x = 2.

Ответ: x = 2.

 На слайде: Пример 4. Решить уравнение  3x = 7x;  

Так как 7x ≠ 0, то уравнение можно представить в виде

3x  = 1;

7x

x = 0

 На слайде: Пример 5. Решить уравнение              

   9x – 4 · 3x – 45 = 0.

Заменой 3x = t данное уравнение можно свести к квадратному t2 – 4t – 45 = 0.

  Решая это уравнение, находим его корни t = 9, t =  5, откуда 3x = 9, 3x =  – 5. Уравнение 3x = 9 имеет корень

x = 2, а уравнение 3x =  – 5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

   Ответ:  

4.

Закрепление учебного материала, предполагающее:

  • постановку конкретной учебной цели перед учащимися (какой результат должен быть достигнут учащимися на данном этапе урока;
  • определение цели, которую ставит перед собой педагог на данном этапе урока;
  • описание форм и методов достижения поставленной цели в ходе закрепления нового учебного материала с учетом индивидуальных особенностей учащихся, с которыми работает педагог;
  • описание критериев, позволяющих определить степень усвоения учащимися нового учебного материала;
  • описание возможных путей и методов реагирования на ситуации, когда педагог определяет, что часть учащихся не освоила новый учебный материал.

                  4)  Первичное закрепление материала

Цель: обобщить знания по решению показательных  уравнений.

№139 (1,3); 140 (1, 3); 141 (1, 4) 143(1); 144 (2); 145 (1).

    Решаем у доски с пояснением первое уравнение, а второе самостоятельно с последующей проверкой (с обратной стороны доски).  

№139. 1) 4x – 1 = 1;      4x – 1 = 40;      x – 1 = 0; x = 1.

3) 22x = 2 4√3;  2x = 4√3;   x = 2√3.

№140.  1)     33x = 3 – 1 ;  3 x =- 1;    

3)       5 x = 52;  x = - 2

№141. 1) 3 · 9x = 81;     3 · 32x = 34;        3 1+2x = 34;  

               1 + 2x = 4;      2x = 3;                x = 1,5.

     4) 0,5x+7 · 0,51 – 2x = 2;          0,5x+7+1–2x = 0,5 -1;

         0,58–x = 0,5 -1;                   8 – x = - 1;          x = 9.  

 

№143. 1)  32x-1 + 32x = 108;     32x-1 (1 + 3) = 108;  

               32x-1  = 27;                  32x-1  = 33;  2x – 1 = 3;  

               2x = 4;                       x = 2.

 

                            

 №144.  2)     ;    ;    ;    

 №145. 1)    9x – 4 · 3x + 3 = 0;           32x 4 · 3x + 3 = 0.

Пусть  3x = t, тогда t2 – 4t + 3 = 0,   t = 1,   t = 3. возвращаемся к замене 3x = 1, x =0,   3x = 3, x = 1.

  5) Групповая самостоятельная работа (группы по четыре человека)

Решить уравнение:   

1 группа:           

2 группа:                                               Ответ:  24.

3 группа:         2x+1 + 2x-1 – 3x-1 = 3x-2  – 2x-3 + 2.

Ответ: 4.

4 группа:        53x+1 + 34 · 52x – 7 · 5x =0.                              

Ответ:

На слайде: ответы

5.

Задание на дом, включающее:

  • постановку цели самостоятельной работы для учащихся (что должны сделать учащиеся в ходе выполнения домашнего задания);
  • определение цели, которую хочет достичь педагог, давая задание на дом;
  • определение и разъяснение учащимся  технологии успешного выполнения домашнего задания.

         6) Домашнее задание

1. Подведение итога урока

Учитель: Чего мы не знали?

Учитель: Что мы теперь умеем?

Учитель: Какие основные способы решения показательных уравнений вы теперь знаете?

Учитель: Обучающиеся, которые справились с самостоятельной работой, получат бонусные баллы для предстоящего зачета.

Чтобы  закрепить, полученные знания вам предлагается  дифференцированная домашняя работа. Чтобы справиться с ней вам необходимо   разобрать все решенные примеры и выполнить на оценку «3» четыре уравнения, на «4»пять шесть уравнений, на «5»семьдевять уравнений.

Домашняя работа. №139 (2, 4); 140 (2, 4); 141 (2, 5); 143(2); 144(2); 145(2).

Учитель: На этом урок закончен, всем спасибо.